72 NOTES SUR LA THÉORIE DES FRACTIONS CONTINUES 
ME pa D nt puede os 
7. THÉORÈME l. Soient p’ 5 deux fractions irréductibles satisfaisant 
aux conditions 
QPPPE A E n O EEO E E O O EE 
Moyennant la restriction indiquée dans le Lemme IV, 5 est avant-dernière 
ee AR 74 
réduite de 5; (”). 
Pour fixer les idées, supposons 
MERE RASE RSR S a o a a O) 
x PADE, ? i P 3 : À tait 
Si lon réduit ĝ, en fraction continue, et que 5 soit lavant- dernière réduite, 
Q 
gesl de rang pair : 
on aura, si 
Me En à E 
D’après le Lemme IV, la seconde hypothèse est admissible. Cela posé, 
à cause de légalité (8), les valeurs de 4 et de « sont, comme on sait, 
comprises dans les formules : 
a e A 0 PT E O ST a a (10) 
6 étant un entier quelconque, 
1° On ne peut le supposer positif ; car on aurait 
e >Y, a>Q. 
2° On ne peut, davantage, le supposer négatif : cette hypothèse donnerait 
E A a EA 
3° Reste donc 
i = 0; 
puis : 
P 
Ga lue, CPS RTS 
Dr rx 
(*) Cette proposition résulte d’un problème résolu par Legendre (Théorie des Nombres, 
t. I, pp. 23, 24), au moyen de calculs et de raisonnements un peu longs. 
