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 a-l'heure constant, nos transcendantes deviendront des fonctions du mo- 

 dule, et Ton peut se demander s'il sera encore impossible de les exprimer 

 sous forme fin ie en termes algebriques, exponentiels et logarithmiques , 

 relatifs a la nouvelle variable. Or je suis parvenu a demontrer qu'en effet 

 cette impossibility subsiste; mais l'analyse dont j'ai fait usage en resolvant 

 ce nouveau probleme differe beaucoup de celle dont je m'etais servi dans 

 le Memoire de 1 833. Les fonctions elliptiques de premiere et de deuxieme 

 espece , considerees comme fonctions du module, satisfont en effet a deux 

 equations differentiellcs du second ordre, assez complique>s, tandis que, 

 par rapport a l'amplitude, ces memes fonctions elliptiques sont de sim- 

 ples integrates indefinies dont 1'element est connu. Les deux questions que 

 j'ai traitees different dotic entre elles autant que integration des fonctions 

 d'une seule variable differe de Integration des equations differentielles. 

 On coinprendra mieux encore l'intervalle qui les separe si j'ajoute que les 

 transcendantes dont nous nous occupons ne deviendraient pas des fonc- 

 tions du module composees d'un nombre limite de termor, quand raerae 

 on joindrait aux signes algebriques, exponentiels et logarithmiques, le si- 

 gne / indiquant une integrale indefinie relative a la variable independante, 

 e'est-a-dire une integrale dont la limite superieure est precisement le mo- 

 dule, et dont la limite inferieure est une constante determinee ou arbi- 

 traire. Ainsi les fonctions elliptiques sont des transcendantes d'un ordre 

 plus eleve par rapport au module que par rapport a l'amplitude. 



» Ces recherches, et plusieurs autres que j'ai publiees anterieurement, 

 appartiennent a une grande theorie que les geometres n'ont pas encore 

 etudiee, je crois, avec 1'attention persevrrante qu'elle merite. Cette theo- 

 rie a pour objet de decouvrir, dans chaque question, toutes les solutions 

 qui peuvent s'ecrire a l'aide d'un nombre limite de signes analytiques don- 

 nes d'avance, on a prouver qu'il n'existe pas de telles solutions. Seule elle 

 peut conduire a une classification vraiment philosophique des transcen- 

 dantes. On la rencontre dans les elements memes, et des les premiers pas 

 qu'on fait en algebre. Apres avoir donne les regies de la multiplication 

 des polynomes, veut-on passer a la division? de suite on est arrete, puis- 

 que deux polynomes pris an hasard ne sont pas toujonrs divisibles Fun par 

 1'autre. II faut done, i° Trouver une methode pour effectuer la division 

 toutes les fois qu'elle est possible, ou pour prouver qu'elle ne Test pas; 

 2° Creer un signe nouveau pour indiquer les divisions qu'on ne peut pas 

 effectuer, et par suite ajouter aux fonctions entieres, seules connuesjus- 

 que la, les fonctions rationneiles. IVfais quand on veut extraire les racines 



