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Mors dans f(p) le coefficient a s'evanouira necessairement; et ((p) 

 une fonction lineaire, non plus de chacune des sommes 



f> h + f>* -fV +..., 

 p^+P^+p 3 '*..., 



p 3A -t-p 3 *-HP 3Z +..., 

 etc , 



mais de chacune des sommes algebriques 



(n) 



p* + P*' 4- p*' +■ • • - P k - p* 7 — p*" ■ • , 



p *h + ^ + ^ + > _ _ p2 * _ p> __ p3 r . . ) 



p 3/, + ^ + fr 4.. ; , _ ^ _ ^ _ ^'. . . , 



etc , 



011 Ton ne doit admettre que des termes distincts les uns des autres, pro- 



pres a representer les diverses racines primitives de l'equation (10), pour 

 une certaine valeur de co , et pris en partie avec le signe -f- ■> en partie 

 avec le signe — . D'ailleurs , les termes que precede le signe -f- devant se 

 changer en ceux que precede le signe — , quand on remplace p par p", les 

 termes de Tune et l'autre espeee devront etre en meme nombre dans 

 chacune des sommes algebriques dont il s'agit, aussi bien que dans la 

 fonction f(f); et si, dans ces sommes 011 dans cette fonction, Ton fait 

 succeder a un terme precede du signe +,un terme correspondant precede 

 du signe — , on pourra obtenir une suite de termes alternativemeut 

 positifs et negatifs. Pour cette raison , nous designerons sous le nom de 

 fonction alternee et de sommes alternees, la fonction f(/>) et les sommes (1 2), 

 dont chacune peut acquerir seulement deux valeurs et deux formes dis- 

 tinctes , quand on y remplace une racine primitive par une autre. Cela 



pose, si Ton designe par A la somme alternee des racines primitives de 



l'equation (t), A sera la premiere des sommes algebriques (12), en sorte 



qu'on aura 



(i33 A* = ft + P h ' + f + ... — f — f — f — etc 



Or comme, dans cette somme, les termes 



f\ fa fa, . . . p*, fa fa . . . 



seront tous distincts les uns des autres, et en nombre egal a N, le nombre 



des termes positifs ou des entiers 



*> #, h", ... 



