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 inferieurs anet premiers a n, verifieront l'equivalence 



(16) x N = i, (mod. 72), 



les uns etant residus quadratiques , et racines de l'equivalence 



jc* == 1 , 

 les autres non-residus quadratiques, et racines de l'equivalence 



D'ailleurs, m etant l'un quelconque des nombres h, k,l, . . ., la substitu- 

 tion de fP a p changera non-seulement p en ^" > , mais aussi p m en ^o m ' : et par 

 suite , dans la somme alternee A, pm- devra etre precede du meme signe 

 que p. Done si p y est precede du signe -f-, on pourra en dire autant de 

 toutes les puissances de p qui offriront pour exposants des residus quadra- 

 tiques; et, comme le nombre de ces puissances sera precisement — , les 

 autres puissances qui- auront pour exposants des non-residus quadrati- 

 ques, devront etre toutes affectees du signe — . Done alors les nombres 

 k, k\ . . ., et par suite le nombre m , dans la somme (i5), ne pourront 

 etre que des non-residus. D'ailleurs, si Ton prend pour m un tel nombre, 

 on aura ; = N; par consequent la somme (i5) renfermant autant de 

 termes que la somme A , representee en totalite cette derniere somme ; 

 et la valeur de A, reduite a 



sera effectivement une fonction alternee des racines primitives de l'equa- 

 tion , attendu quelle acquerra seulement deux valeurs egales , au signe 

 pres , mais affectees de signes contraires , lorsqu'on y remplacera suc- 

 cessivement la racine primitive p par l'une des autres racines primitives 



pin p™* , . . p m , 



» Si n se reduit a un nombre premier impair, on aura N = n — 1 , 

 (18) A = p — ff* 4- pr* — . . . + p m "~\ 



et d'apres un theoreme de M. Gauss, rappele dans une precedente seance, 



09) * = (->)* 



