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 Mais, si Ton a 



11 = v % 



v etant un nombre premier impair, et a un entier superieur a I'unite; on 

 trouvera 



et, m etant un nombre quelconque premier a n y les divers termes de la 

 progression arithmetique 



m, m-f-r, m+zv, ... to+(»— _ ,>, 



seront tous a la fois residus quadratiques on non-residus quadratiques. 

 Or, la somme des puissances dep, qui auront pour exposants ces memes 

 termes , se reduisant a 



et ces puissances etant les seules qui , dans la somme alternee A , offrent 

 des exposants Equivalents a m suivant le module v, il en resulte qu'en 

 supposant n = v a , on obtiendra une valeur nulle de A. Mors aussi on ob- 

 tiendra encore des valeurs nulles pour celles des sommes (11) qui ne se 

 reduiront pas a la somme (D des racines primitives de l'equation 



Done, lorsque n representera une puissance quelconque d'un nombre 

 premier impair, non-seulement on aura 



(20) A = o , 



mais de plus f (p) sera de la forme 



(a,) f( P ) = a®. 



a Nous avons deja observe qu'il n'existe point de somme alternee des 

 racines primitives de l'equation (1), dans le cas ou Ton suppose n = 2. 

 Mais il n'en sera plus de meme quand on prendra pour n une puissance 

 de 2. Concevons qu'alors on reduise toujours Tun des nombres 



h, h!, Vj ... 

 a I'unite. Si, pour fixer les idees, on suppose n = 4, on trouvera 



h = 1, k s= 3, 



et 



{21) a = f — f 



