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 » Dans les divers termes clu developpement que renferme la formule (i), 

 les puissances entieres de z se trouvent respectivement multiplies par- 

 ies facteurs 



c'est-a-dire par les puissances de x donf ies exposants se reduisent aux 

 nombres triangulaires. Si Ton norame S OT ce que devient le developpe- 

 ment dont il s'agit quand on supprime ces facteurs, on aura 



et I on aura par suite 



( 9 ) ( 1+ J)(,+*>4^ 



» Si, dans la formule (7), on pose z — — c , elle donnera 

 et Ton aura par suite 



wro -^xi-^)- (—^— )= ,-*=£+ ^rri ( ;,~-!^' ) — ■+ ■• 



Ainsi la consideration du developpement designe par S ro conduit imme- 

 diatement aux formules (9) et (11), que M. Gauss a donnees dans le Me- 

 moire intitule Summatio serierum qucerumdam singularium. 



» Dans la theorie des nombres, la consideration des fonctions alternees 

 fournit, comme je I'ai fait voir precedemment, des theoremes relatifs aux 

 formes quadratiques des nombres premiers et de leurs puissances. Elle 

 conduit aussi de la maniere la plus directe au beau tbeoreme de M. Gauss 

 sur la forme quadratique que pent acquerir le premier membre d'une 

 equation binome, debarrassee de la racine 1 ; iheoreme qui peut etre 



