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 tion ( 1 5), si 7 est de la forme 4 X + i» et, par des raisonnements sembla- 

 bles a ceux dont nous venons de faire usage , on prouvera que I'equation 

 (i5) entraine I'une des deux formules 



(23) p z __ au > + £^ ^4) 2p* = aw 1 + Gv*, 



a, Q>, designant des nombres impairs assujetis a verifier la condition 



( 2 5) *G = j , 



et u, v des quantites entieres qui verifieront l'une des conditions 



ius> = y\ uv = j. 

 D'ailleurs, leproduit ag = ? etant de la forme 4x -f- i, a, £ seront tous 

 deux de cette forme, ou tous deux de la forme 4 X "f- 3 ; et, comme l'e- 

 quation (23) entrainera les formules (19), en vertu desquelles I'equation 

 (ao) donnera 



* — 1 c- 1 



f*6) (— 1) a * = 1, 



il est clair que , dans I'equation (s3), ot, £ne pourront etre tous deux de 

 la forme 4x + 3. lis y seront done l'un et l'autre de la forme 4x -f- 1. 

 Quant aux valeurs de a, £, contenues dans I'equation (24), elles devront 

 verifier les formules 



(■a e=c-> ©-©. 



desquelles on tirera, en les combinant avec les formules (20), (a5), 



et, comme u% o* devront etre impairs dans I'equation (24), cette equation 

 donnera encore 



(29) 2 = a + C, (mod. 8). 



Or, en vertu des formules (28), (29), les entiers <x, £?, devront etre tous 

 deux de la forme 8x-f 1, ou tous deux de la forme 8x + 5, si - est de la 

 forme 8x +i ; et l'un de la forme 8x -f- 3, l'autre de la forme 8x -f- 7, si ^ 

 est de la forme 8x-f-5. On peut done enoncer la proposition suivante. 



