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a-dire de la forme t -f- u \/ — l, les theoremes qui ont lieu dans les cas 

 ordinaires des entiers reels. Si Ton cherche en particulier a obtenir le 

 nombre des formes quadratiques differentes qui existent dans cette hypo- 

 these pour un determinant donne, on arrive a ce resultat assez remar- 

 quable, que le nombre dont il s'agit depend de la division de la lemniscate, 

 de meme que dans le cas des formes reelles et a determinant positif, il 

 se rattache a la section du cercle. Ce qui m J a surtout fait plaisir dans ce 

 travail, c'est le parti qu'on y tire de considerations geometriques et parti- 

 culierement de la theoriedesproprietes perspectives des figures. Au moyen 

 de cet auxiliaire, la question, qui d'abord et consideree d'une maniere 

 purement analytique parait extremement compliquee, devient presque 

 aussi simple que lorsqu'il s'agit de determinants reels. 



» Les recherches dont je viens de vous indiquer l'objet m'ont conduit a 

 un theoreme remarquable par sa simplicite, et qui ne parait pas sans im- 

 portance pour la theorie des equations indeterminees des degres superieurs 

 au second, matiere encore tres peu cultivee. Voici en quoi consiste ce 

 theoreme. 



« Si l'equation 



(i) s" -+- as"->+ 4- gs -f- k = o, 



a coefficients entiers, n'a pas de diviseur rationnel, et si parmisesracines 

 a, ^,....0, il y enaau moins une qui soit reelle, je dis que l'equation 

 indeterminee 



(2) F (x,f r . . .z) = <p(z)<p (0). . . .<p («) = i, 



ou Ton a pose pour abreger 



<p (a)= x -+- op H-, . ., % + **-'z, 



' a toujours une infinite de solutions entieres. » 



» Pour etablirce theoreme, il faut d'abord faire voir qu'il existe au moins 

 »n entier m tel, que l'equation 



(3 ) F(ar, j>,:...z) = m 



riit une infinite de solutions. C'est a quoi Ion peut parvenir par differents 



