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 moyens. Dans le cas du second degre, la chose, qui pour ce 

 nouvelle, resulte immediatement des proprietes des fractions c 



» L'equation (3)ayant une infinite de solutions, il en existera deux telles, 

 que Ton ait 



Ffer «)=M», F(^',/ *)=m, 



et en meme temps , 



(4) x =3 X>, jr ==/,... 2 55 z' (mod. m). 



Cela pose , si nous considerons la fraction 



x' + «y -f-.,:.H-.»-- Z ' 

 x +«r +....+•»-* > 



on pourra eviderament [en multipliant par q> (/3) . . . $ («)] lui donner la 

 forme 



X+ 8 Y-f....+/-'Z 



ou X, Y,....Z sont des fonctions entieres et a coefficients entiers de 

 x y j,. . . .z, X*,/,. . . .*'. Je dis maintenant que X, Y,. . . .Z sont des 

 multiples de m. Pour le faire voir, admettons pour un instant que dans 



ces expressions x',j',. . . .z' soient changes en x, y, a; changement 



par lequel X, Y,. . . .Z resteront, en vertu des congruences (4), congrus 

 a eux-memes. Par le changement dont il s'agit , X -\- aY -f-. . . .a"""Z 

 doit devenir egal a«!,ce qui ne peut arriver [l'equation (i) n'ayant pas 

 de diviseurs rationnels] qu'autant queX, Y,....Z deviennent respecti- 

 vement w, o, o. Done X, Y, Z sont divisibles par m, et la frac- 

 tion considered plus haut est 



S-f- «+.... + «— f 



(£, n, £ etant des entiers); d'ou Ton conclut 



F(r, ...... o=«. 



solution qui en fournira une infinite d'autres. 



»Parmi les consequences nombreuses qu'on peut tirer de ce theoreme, 

 il y en a une qui se presente pour ainsi dire d'elle-meme et consiste en 

 ce que les fonctions que Lagrange a d'abord considerees dans les Memoires 

 de Berlin, et plus tard dans les Additions a I'Algebre d'Euler, et qui se 

 reproduisent par la multiplication , si elles peuvent obt 

 valeur, sont des-lors susceptibles de la meme valeur pour une infini 



C. R. 1840, .«' Scmrttn. T. X, N« 7. , 



