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 decomposer l'equation (i) en facteurs rationnels (conditions qui se trou- 

 vent reproduces a la fin de la lettre de M. Dirichlet) pourraient peut-etre 

 faire croire que ce savant geometre a pense que son theoreme ne se ve- 

 rifiait que lorsque ces conditions sont satisfaites. Cependant il existe des 

 cas dans lesquels elles ne sont pas necessaires. Cela est evident, par exem- 

 ple, lorsque A = =fc i, quelle que soit d'ailleurs la forme des racines de 

 l'equation (i), et malgre les facteurs rationnels que cette equation pour- 

 rait avoir : en effet, si Ton fait alors 



on aura toujours 

 et par suite 



[*(■)* («... ?(«)]■=., 



equation qui, comme Ton sait, pourra se mettre encore sous la forme 



pourvu que Ton donne aux nouvelles inconnues x ti y„. .. a,, des valeurs 

 convenables, et ilsera facile de deduire de la une infinite de solutions de 

 l'equation (2), a 1'aide de l'equation 



[F(x„jr,,.. ztf = [<?(*) <?(?)... ?(»)]'=!, 



oil p est un nombre entier positif quelconque. On voit done que lorsque 

 dans l'equation (F), la quantite h est egale a l'unite, le theoreme enonce 

 par M. Dirichlet se verifie meme lorsque les conditions qu'il avait expri- 

 mees ne sont pas remplies. 



» J'ajouterai ici que ce theoreme ne sert, a proprement parler, qu'a 

 trouverdes solutions de l'equation (2) , et non pas a resoudre completement 

 cette equation , e'est-a-dire a en trouver toutes les solutions. La difnculte 

 est infiniment augmentee dans ce dernier cas , et sauf un tres petit nombre 

 d'equations qui se rattachent pour la plupart au theoreme de Fermat, je 

 crois que ce l'on a fait de plus general a ce sujet consiste dans la resolu- 

 tion complete de cette classe d'equations, que j'ai traitees a l'aide des series 

 ou que j'ai raraenees a des congruences a module variable (*). Dans les 



(*) Voyez Mtmoires de MalUmaliques et de Physique, Florence, 1829, in-4, 

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