( 45x ) 

 pour»=,5, 

 T I ^-S l =74-ii-f-i3-f-i4— i— a— 4— 8±*3d, T a — S t =45o=i5.3o; etc 



Encombinantlesformules^), (43), (44), avcc les formules (35), (36) 

 (37), (38) , on en conclura : i° si n est do la forme 8x + 1 , sans elrc un carre 



(45) fa«f/, S.ssT., S.— T.=4(/.-^), etc....; 

 2 si k est de la forme 8x + 5 , 



(46) to/, S, = T,, 3(S a -T,)=r4(/ a -. ?a ), etc.; 

 3° si « est de la forme 8x -f- 3 , 



(4 7 ) T, - S, = n r l=i , T,- S, =, ?• ^ , etc. . . ; 

 4° si /z est de la forme 8x -f- 7 , 



(48) T,-S r = »(*-/)» T.-S a :=«»^, etc.... 



»Si « etait un carre impair, alors , la condition (4) se trouvant verify 

 Ton tireraitdesformules(35),(39), jointes a la secemde des formules (/j 1 ) 



(4g) 3j.= iw x , i5j 4 = « (14s, 



— ns % ), etc.... 



(5o) S = ai = N, S, = ni, S a 



= n % i — 4^ 9 , etc 



» Dans le cas particulier ou n se reduit 



a 1111 nombre premier 



les entiers ci-dessus designes par h ou k 



ne sent autres que les 



011 les non-residus quadratiques inferieurs 



a -. Done alors i 011 / 



sente le nombre de ces residus , ou le n 



ombre de ces non-resi< 



s m ou t m la somme de leura puissances du 



depe m. Cette meme 



devient S m ou T m , lorsqu'on v admet toll! 



Les ivm.Ins ou ncm-resi 



» Parmi les formules qui precedenl . relics qui renferment seulemrrit les 

 rrois differences 



i-j, s,-t„ S.-T„ 



premier. Ainsi, en particulier. on connaissait les deux jvremieres des for- 

 mules (4a);et M. Liouvilie m'a dit etre parvenu a demontrer direett?- 

 ment la premiere des equations (37) ou (38), ainsi que la premiere de*" 

 equations (47) ou (48). J'ajonterai que la premiere des equations {Ml?- 



