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 en 1817 dans le Bulletin de la Societe Philomatique. Cette derniere for- 

 mule, qui parut digne d'attention a l'auteur de la Mecanique celeste, sertii 

 la transformation d'une somme d'exponentielles dont les exposants crois- 

 sent comme les carres des nombres naturels; et, lorsqu'on attribue a ces 

 exposants des valeurs imaginaires, on retrouve avec la formule de M. Gauss 

 la loi de reciprocity qui existe entre deux nombres premiers. Mais la for- 

 mule de 1 81 7 etait deduite de la consideration des fonctions reciproques, 

 par consequent de thcoremes relatifs au calcul integral; et ce que les geo- 

 metres apprendront sans doute avec plaisir c'est que, sans recourir ni au 

 calcul integral, ni aux series singulieres dontM. Gauss a fait usage, on peut 

 directernent, et parune methode fort simple, transformer en produit une 

 somme alternee, en determinant !e signe qui doit affecter ce meme produit. 

 Cette methode a d'ailleurs 1'avantage d'etre applicable a d'autres questions 

 du meme genre. Ainsi en particulier Ton reconnaitra sans peine que, si, // 

 etant un nombre premier, n — r est divisible par 3, ou par 5, etc., un 

 facteur primitif de «, correspondant au diviseur 3, sera proportionnel au 

 produit de n ~ — facteurs trinornes, tandis qu'un facteur primilif de 7/ . 

 correspondant au diviseur 5, sera proportionnel au produit de — ~ — fac- 

 teurs pentanomes ou composes chacun de cinq termes; et le rapport 

 du produit en question au facteur primitif de n sera la somme de cer- 

 taines racines de Y unite respectivement multipliees par des coefficients qui 

 seront equivalents, suivant le module tz, a des quantites connues. J'ajouterai 

 que des formules relatives a la determination complete d'une somme al- 

 ternee, dans le cas ou n est un nombre premier, on deduit aisement les 

 formules analogues qui se rapportcht au cas ou « est un nombre compose 

 quelconque, et la demonstration <l" theoreme, suivant lequel, dans une 

 semblable somme, ou la plupart «I«*s term, s po^itif^, ou la moitie" de ces 

 termes, doivent offrir des exposants inferieurs a //. 



somme alter 



fonction alternee des racines primitives de chacune des equatk 

 peut obtenir, en rempiaennt n par un diviseur de n. Si n est 1 





