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 et par suite 



da) ^QVi^^.+ y/^T). 



Done, en supposant A determine par la formule (i5), on aura, non-seu- 

 lement pour des valeurs impaires du nombre «, mais generalement, et 

 quel que soit ce nombre , 



(so) i= «3( I + v /— O^+e-?^'). 



On trouvera en particulier, i°. si n est de la forme 4 X , 



(»0 A = n T ( ,+ v :r7 ); 



2°. si 7i est de la forme 4 X "f* * 7 



(22) A = **| 



3°. si /i est de la forme 4 X *+" 2 > 



(a3) A = o; 



4°. si t* est de la forme 4x -+- 3, 



(a4) A = 71* V^5. 



Ainsi, les formules (20), (21), (22), (23), (24), que M. Gauss a etablies 



dans un de ses plus beaux Memoires , et dont M. Dirichlet a donne une 



demonstration nouvelle qui a e"te justement remarquee des geometres, 



se trouvent comprises comme cas particuliers dans la formule (8), de la- 



quelle on deduit immediatement l'equation (20) en attribuant a l'expo- 



sant — a* une valeur infiniment rapprochee de la valeur imaginaire 



— y/ — 1, 011, ce qui revient au meme, en reduisant 1'exponentielle e~ a * 



a l'une des racines primitives de liquation (1), savoir, a celleque determine 



la formule (4). 



» Si Ton supposait a' determine non plus par la formule (11), mais par 

 la suivante 

 05) * = - ™ V'^T, 



m etant premier a n; alors, en operant comme ci-dessus , on obtiendrait, au 

 lieu de la formule (20J, une equation qui, combinee avec cette formule, 

 reproduirait immediatement la loi de reciprocity entre deux nombres pre- 

 miers , ou meme cette loi etendue a deux nombres impairs quelconques 



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