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 on remplace generalement 



cette somme sera remplacee elle-meme par la i 



tandis que la somme alterne — A se changera en 

 - (/i-i)=i,(mod.»). 



Done , pour decider si dans la formule (5) on doit reduire le double signe au 

 signe -{- ou au signe — , il suffira de chercher la quantite en laquelle se 

 transforme le developpement de P quand on y remplace chaque terme de la 

 forme p l par f-\ et de voir si cette quantite, divisee par 4, donne pom 

 reste — 1 ou -+- 1. Or, comme le developpement de P se composera de 

 termes de la forme 



le signe qui pre'eede p e'tanl le produit des signes qui precedent les 

 nombres 1 , 3, 5. . . , la quantite dont il s'agit sera la somme des expres- 

 sions de la forme 



le signe place en dehors des parentheses etant le produit des signes places 

 au dedans. Elle sera doncequivalente, suivant le module n, a la somme des 

 expressions de Ja forme 



(6) =fc[=fci±3=fc5sfc...=fc(« — 2)] ~ rL . 

 Ainsi, en particulier, elle sera equivalente, pour n = 3, a 



.'-(-..('sas- i, (mod. 3); 

 pour nz=z 5, a 

 (, H- 3 )'-f-(_ , — 3)' — (— i+3)*-(i — 3)' = 4 = -i,(mod.5). 



D'ailleurs si Ton suppose le nombre de lettres a, b, c. . , egal a m, Ja 

 somme des expressions de la forme 



(7) =b(dba±6=bc=fc...}-, 



