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 «ies puissances de fl, qui offrent pour exposants Jes residus cubiques infe- 

 rieurs au module p, pourra seulement acquerir trois valeurs distinctes qui 

 seront precisement 



So, «i, ««• 



Enfin , si Ton nomine S la somme des puissances de Q qui ont pour expo- 

 sants les cubes des nombres 



o, ,,*, 3,... />-., 



et S,, S a , ce que devient S quandon y remplace successivement 8 par B 1 

 et par 8'* , on aura 



( 7 ) S = i + 3s , S,= i+ 3r<§ S,= i + 3*.. 

 En effet, les nombres 



peuvent etre censes representer les diverses racines de l'equivalence 



xp- 1 = i, ou X s ™ = i, (mod. p) 

 qui se decompose en plusieurs autres, savoir, 



(8) x 3 =• i, x 3 = t 3 , x 3 =3 t B , . .. x s = V" 4 , (mod. />); 



etpar consequent trois d'entre eux verifierontchacune des Equivalences (8). 

 Done si Ton pose 



(8) S o = I+ fl'+8 J, + 6 3, +...+ ( '-' } ', 



on aura encore 



S fl = I +3(fl + fi' , + fl' 6 -f .-.+ 0"-<), 



ou, ce qui revient au meme, 



S = i ■+• 3S . 



On retrouve ainsi la premiere des formules (7), de iaquelle on d^duira la 

 seconde et la troisieme en remplacant 8 par 0' et par 0<\ 



» II est bon d'observer que, si t 3n designe un terme qudconque de 



