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 le produit des differences entre ces trois racines , savoir, 



(S - S.) (S, - SJ (S, — S ) = 3 3 (§ — *,) (*, — *.) (s. — * ), 



aura pour carre, d'apres une regie connue, le binome 



4 (3/0 3 - *7 (A/0' = a 7 p-(4/»— A-). 

 On aura done 



(3a) 2? (». -*.)•(*.- *.)" (*. - * J' = />* M/> - A'). 



D'autre part , si Ton pose 



(33) B=b — c, 

 l'equation (26) donnera 



(34) («.-*.) (*.-*.)(«. — *.)=-ty 5 

 et Ton tirera des formules (3a) , (34) 



(35) 4/>=A-+* 7 B'. 



Enfin les equations (3i), (33), jointes aux formules (21), donneront 



(36) A = — n , B == -— n, (mod. p). 



Done, i° l'equation (35) pourra etre verifiee, comme Va dit M. Jacobi, 

 par des nombres entiers ri= A, =fc B, et la quantite A dont la valeur nu- 

 merique sera inferieure a 



vv - 27 = i v^-ip-sy— 44, 



par consequent a \p, pourra etre completement determinee,ainsi que la 

 quantiteB, inferieure elle-meme, abstraction faitedu signe, a j Vp, a plus 

 forte raison, a |/>, par le moyen des formules (36); 2 si, dans la for- 

 mule (3o), on substitue la valeur de A choisie de maniere a verifier non- 

 seulement la formule (35), mais encore la condition (3 1), presentee sous 

 la forme 



A ==— (/>-r-0, (mod. 9), 



l'equation (3o) aura pour racines reelles les trois sommes 



S., S,, S.. 

 Cette derniere conclusion s'accorde avec des remarques deja faites par 

 M. Libri et par M. Lebesgue (voir le Journal de Mathematiques de M. Liou- 

 vilk, fevrier 1840). Nous ajouterous que, l'equation (28) pouvant etrere- 



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