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 mes lecons, le theoreme que je viens tie rappeler est si fecond en resultats 

 utiles pour le progres des sciences mathematiques , et il est d'ailleurs d'une 

 application si facile, qu'il y aurait de grands avanlages a le faire passer 

 dans le calcul differentiel , et a debarrasser sa demonstration des signes d'in- 

 tegration qui ne paraissent pas devoir y entrer neeessairement. Ayant 

 cherche les moyens d'atteindre ce but, j'ai eu la satisfaction de reconnaitre 

 qu'on pouvait effectivement y parveuir, a l'aide des principes ctablis dans 

 raon Calcul differentiel; et dans le Resume des lecons que j'ai donnees, a 

 l'Ecole Polytechnique, sur le calcul infinitesimal. En eflfet, a l'aide de 

 ces principes, on demontre aisement, comme on le verra dans le premier 

 paragraphe de ce Memoire, diverses propositions parmi lesquelles se trouve 

 le theoreme que je viens de citer; et Von pent alors, non-seulement re- 

 connaitre dans quels cas les fonctions sont developpables en series conver- 

 gentes, ordonnees suivant les puissances ascendantes des variables qu'elles 

 renferment, mais encore assigner des limites aux erreurs que Ton com- 

 met en negligeant, dans ces memes series, les termes dont le rang sur- 

 passe un nombre donne. 



» Le second paragraphe du Memoire se rapporte plus specialernent au 

 developpement des fonctions implicites. Pour developper ces sortes de 

 fonctions, on a souvent fait usage de la methode des coefficients indeter- 

 mines. Mais cette methode, qui suppose 1' existence d'un developpement et 

 merae sa forme deja connues, ne peut servir a constater ni cette forme, 

 ni cette existence, et determine seulement les coefficients que les deve- 

 loppements peuvent contenir, sans indiquer les valeurs entre lesquelles 

 les variables doivent se renfermer pour que les fonctions restent deve- 

 loppables. II est clair, par ce motif, que beaucoup de demonstrations 

 admises autrefois sans contestation , doivent etre regardees comme in- 

 suffisantes. Telle est, en particulier, la demonstration que M. Laplace a 

 donnee de la formule de Lagrange, et que Lagrange a inseree dans la 

 Theorie des fonctions analjtiaues. Des demonstrations plus rigoureuses 

 de la meme formule sont celles oil Ton commence par faire voir que la 

 multiplication de deux series semblables a la serie de Lagrange reproduit 

 une serie de meme forme, et celle que j'ai donnee en i83i dans un Me- 

 moire sur la Mecanique celeste. Mais de ces deux demonstrations, la pre- 

 miere est assez longue, et la seconde exige l'emploi des integrates definies. 

 Or, comme la formule de Lagrange et d'autres formules analogues ser- 

 vent a la solution d'un grand nombre de problemes, j'ai pense qu'il serait 

 utile den donner une demonstration tres simple, et en quelque sorte 



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