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 sera inferieur au plus petit des modules de z pour lesquels la fonction f(s) 

 cesse d'etre finie et continue. On peut done enoncer la proposition sui- 

 vante. 



» 3 me Theoreme. Si Ton attribue a la variable x un module inferieur au 

 plus petit de ceux pour lesquels une des deux fonctions f (x), f'(ar) cesse 

 d'etre finie et continue , la fonction f(x) pourra etre representee par la 

 valeur moyenne du produit 



correspondante a un module r de z, qui surpasse le module donne de x; 

 et sera par consequent developpable en serie convergente , ordonnee sui- 

 vant les puissances ascendantes de la variable x. 



»Nota. Comme en supposantla fonction f(x) developpable suivant les 

 puissances ascendantes de x , et de la forme 



(19) f(x) = a -f- a x x -f- aj* -f-. . • , 



on tirera de lequation (19) et de ses derivees relatives a x 



„„ = f( o), „,= ^, *-03.... 



il est ckir que le developpement de f(ar), deduit du theoreme 3, ne diffe- 

 rera pasde celui que fournirait la formule de Taylor. On arrive encore aux 

 memes conclusions en observant que le produit 



;=* f «> 



developpe suivant les puissances ascendantes de x, donne pour develop- 

 pement la serie 



f(z), «lfi9, x><£, etc 



Done, dans le developpement de f (jp), le terme constant devra se reduire 

 * la valeur moyenne de f(z), laquelle, en vertu du a e theoreme, est pre- 

 ciseraent f (o), le coefficient de x a la valeur moyenne du rapport -p, on, 

 re 4 ui revient au meme, du rapport 





