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 et par consequent la plus petite racine de l'equation 



X = iCOSX 



sera deveJoppable en serie convergente ordonnee suivant les puissances 

 ascendantes de /, pour tout module de 6 inferieur au norabre 0,662742... 

 On se trouve ainsi ramene immediatement a un resultat auquel M. La- 

 place est parvenu par des calculs assez longs dans son Memoire sur la 

 convergence de la serie que fournit le developpement du rayon vecteur 

 dune planete suivant les puissances ascendantes de l'excentricite. 



» II nous reste a indiquer une methode tres simple, a l'aide de laquelle 

 on peut souvent construire avec une grande facilite les developpements 

 des fonctions implicites. Pour ne pas trop alonger ce Memoire, nous nous 

 contenterons ici d'appliquer cette methode au developpement de la plus 

 petite racine x de l'equation (i), ou d'une fonction de cette racine. 



» Nomrnons a, celle des racines de l'equation (1) qui s'evanouit avec jf, 

 et que nous supposons etre une racine simple. On aura identiquement 



(3) x — nr.W = (* - «)nf», 



n(jc) designant une fonction de x qui ne deviendra point nulle ni infinie 

 pour x = o. Or, de l'equation (3) , jointe a sa derivee, on deduira la sui- 

 vant e 



i — «*'(x) ___ _j , irjx) 



*_,»(*) ~ x-« "T" n {x) , 



(4) 



que Ton obtiendrait immediatement en prenantles derivees logarithmiques 

 des deux membres de l'equation (3). On aura done par suite 



(S) £ ea = '-^w l_. 



v •/ n (X) X— vm(x) X — * 



D'ailleurs, pour des valeurs de x suffisamment rapprochees de zero, la 

 fonction 



n'(x) 

 n (x) 

 sera generalement developpable en une serie convergente ordonnee suivant 

 les puissances ascendantes, entieres et positives de x. Ainsi, en particulier, 

 ?i n (x) est une fonction entiere de x 7 et si Ton nomme G,y. ... les ra- 

 cines de l'equation 

 (6) Yl(x) = o, 



