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 dernieres meme etant, a ce qu'il semble, en nombre infini. Toutefois il 

 importe d'observer qu'en supposant le module de cares petit, on pourra 

 tieveiopper e, «*,. . . et par suite les seconds membres de formules (i i) et 

 (5) , suivant les puissances ascendantes de a. Alors le second membre de 

 la formule (5), developpe suivant les puissances ascendantes de x et de a, 

 offrira, il est vrai, des puissances positives et des puissances negatives 

 de x, mais seulement des puissances positives de a; et le coefficient d'une 

 puissance quelconque de a, par exemple de a", dans ce second membre, 

 sera la somme u m d'une serie qui renfermera un nombre infini de puis- 

 sances positives de x , avec les seules puissances negatives 



D'autre part, en vertu des principes etablis dans le paragraphe precedent 

 (5 e theoreme), le facteur V^ sera developpable en une serie convergente 

 ordonnee suivant les puissances ascendantes, entieres et positives, de x 

 et de a, tant que les modules de x et de a ne depasseront pas les limites 

 au-deladesquellescette fonction cesse d'etre continue; etle coefficient de a m , 

 dans le developpement, sera la somme v m d'une serie qui renfermera seu- 

 lement les puissances entieres et positives de x. Done, puisque deux 

 developpements, ordonnes suivant les puissances ascendantes , entieres et 

 positives, de a, ne peuvent devenir egaux sans qu'il y ait egalite entre les 

 coefficients des memes puissances, les deux coefficients de a m que nous 

 avons designes par u m , y m , et qui representent les sommes de deux series 

 ordonnees suivant les puissances ascendantes de x , seront egaux; d'ou il 

 resulte que , dans la premiere de ces deux series , chacun des m premiers 

 termes, proportionnels a des puissances negatives de x, devra s'evanouir. 

 Done le terme proportionnel a ~ , en particulier, s'evanouira dans la serie 

 dont la somme u m sert de coefficient a a m , quel que soit d'ailleurs le 

 nombre m; d'ou il resulte que la somme des termes proportionnels a - 

 elle-meme, dans le developpement du second membre de la 

 i (5) suivant les puissances ascendantes de x et de a. Or cette 

 >en vertu des formules (9), (10), (i3), sera evidemment 



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