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(i4) a = e3 +7^ D ' 32 + 7^ D ' 53 + •••' 



la valeur de / devant etrereduite a zero, apres les differentiations effectuees. 

 La formule (i4), qui subsistetant que a et sa derivee relative a e restentfonc- 

 tions continues de e, est precisement la formule donnee par Lagrange pour 

 le developpement de a, suivant les puissances ascendantes de i. Si Ton 

 egalait a zero, dans le developpement du second membre de la formule (5), 

 non plus le coefficient de 4, ma i s ceux de s> de -, etc., ... on obtien- 

 drait immediatement les formules donnees par Lagrange pour le develop- 

 pement de ot*, a 3 , etc. , . . . suivant les puissances ascendantes de «. Enfin , 

 si Ion egalait les coefficients des puissances positives 



a ceux qui affectent les memes puissances dans le second membre de la 

 formule (9), on obtiendrait les valeurs des sommes 



developpees encore suivant les puissances ascendantes entieres et posi- 



» Soit maintenant f(j;) une fonction qui ne devienne pas infinie pour 

 x = o. Apres avoir multiplie par le rapport 



f (X) — f(0) 



les deux membres de la formule (5), on pourra, tant que la fonction i\jc) 

 ne deviendra pas discontinue, developper le second membre suivant les 

 puissances ascendantes de x; et, comme, dans ce developpement effectue a 

 l'aide des equations (jo), (11), (i3) ou de formules analogues, le coeffi- 

 cient de — devra disparaitre, on en conclura facilement 



( l5 ) f( a) _f(o) = 6 .3f'(o-f- ^D.^-f'o)] + ttni*tM + »>, 



la valeur de 1 devant etre reduite a zero apres les differenciations effec- 

 tuees. On retrouve encore ici la formule donnee par Lagrange pour le deve- 

 loppement de f(a). II est bon d'observer que, danscette formule, le coeffi- 

 cient de'-, determine par la methode qu'on vient d'exposer, sera le 

 coefficient de ~ dans le developpement du produit 



C. E. 1840 , 1" Semcst, e. (T. X , N° i6.) 89 



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