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 des valeurs iuferieures a celles pour lesquelles la fonction , ou ses derivees 

 du premier ordre, pourraient devenir infinies ou discontinues. Supposons, 

 pour fixer Ies idees, que les equations differentielles donnees se trouvent, 

 comme on peut toujours l'admettre, reduites au premier ordre. On pourra 

 supposer encore qu'elles offrent pour seconds membres des fonctions con- 

 nues des diverses variables, et pour premiers membres les derivees du pre 

 mier ordre des variables principals prises par rapport a la variable indepen 

 dante,par exemple, dans les questions de mecanique, les derivees du premie 

 ordre, des coordonnees et des vitesses des points mobiles, differentiees pai 

 rapport au temps. Or, dans ce cas , en considerant les integrates des < 

 tions differentielles donnees comme les limites vers lesquelles convergen 

 les integrales d'un systeme d'equations aux differences finies, tandis que 

 la difference finie du temps devient de plus en plus petite, on prou- 

 vera, par des raisonnements semblables a ceux que j'ai developpes 

 dans le Cours de seconde annee de l'Ecole Polytechnique , que les coor- 

 donnees et les vitesses des points materiels, au bout d'un temps quelcon- 

 que, ou leurs derivees du premier ordre, restent generalement fonctions 

 continues du temps et des constantes arbitraires introduites par 1'inte- 

 gration, par exemple, des coordonnees et des vitesses initiates, tant que 

 les modules du temps et des constantes arbitraires conservent des valeurs 

 inferieures a celles pour lesquelles les seconds membres des equations 

 differentielles donnees, ou les 'derivees du premier ordre de ces seconds 

 membres , prises par rapport aux droites variables , deviendrarent infinies 

 ou discontinues. Done les integrales des equations differentielles que Ton 

 considere seront generalement developpables en series ordonnees suivant 

 les puissances ascendantes du temps et des constantes arbitraires intro- 

 duites par l'integration , tant que les modules du temps et de ces constantes 

 resteront inferieurs aux limites pour lesquelles se verifierait Tune des con- 

 ditions que nous venons d'enoneer. Ainsi , en particulier , comme dans la 

 Mecanique celeste , les seconds membres des equations differentielles don- 

 nees ne deviennent infinis, pour des valeurs finies des coordonnees, que 

 a ans le cas ou les distances mutuelles de deux ou de plusieurs astres 

 s e reduisent a zero, les inconnues determinees par ces equations seront 

 g< ^eraleraent developpables en series ordonnees suivant les puissances 

 ascendantes des excentricites et des autres constantes arbitraires, tant 

 que les modules de ces constantes ne depasseront pas les valeurs qui 

 permettent de verifier Tune des equations de condition qu'on obtien- 

 drait en egalant a zero les distances des planetes au Soleil ou leurs dis- 



