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 a prouve dans ime suite de Memoires qu'on pouvait se borner a integrer 

 une seule des deux equations aux differences partielles donnees par 

 M. Hamilton. Toutefois , malgre cette importante remarque ajoutee aux 

 theoremes de M. Hamilton, et tout le parti que M. Jacobi a su en tirer, 

 je persiste a croire que, pour l'integration d'un systeme d'equations dif- 

 ferentielles, une des methodes les plus generates et les plus simples est 

 celle qui se trpuve exposee dans le Memoire de i835 deja cite. Les a van- 

 tages qu'elle me parait offrirsont ceux que je vais indiquer en peu de mots. 

 » L'equation aux differences partielles que je nomme l'equation carac- 

 teristique n'est pas seulement verifiee par une fonction particuliere des 

 variables, par exemple, par celle que M. Hamilton nomme la fonction 

 caracteristique; mais, comme je I'ai deja dit, elle pent servir a determiner 

 en fonction de la variable independante une fonction quelconque des 

 variables principales. De plus l'equation caracteristique a sur les equations 

 aux differences partielles de M. Hamilton le grand avantage d'etre lineaire, 

 ce qui permet non-seulement de developper immediatement son integrale 

 en une serie qui reste convergente tant que le module de 1'accroissement 

 attribue a la variable independante ne depasse pas certaines limites, mais 

 encore de rendre utiles pour l'integration d'un systeme quelconque d'e'qua- 

 tions differentielles tous les theoremes relatifs a l'integration des equations 

 lineaires. 



» Parmi ces theoremes il en est un surtout qui se prete a de nombreuses 

 applications, et qu'il me parait utile d'enoncer ici danstoute sa generalite. 

 On sait qu'une equation differentielle on aux differences partielles a coeffi- 

 cients constants etant inte'gree, l'integration pent etre etendue au cas 

 meme oil Ton introduit dans l'equation uu second membre qui soit fonc- 

 tion des variables iiHli'pt-ndantes; et j'ai prouve dans le ltf cahier du 

 Journal de i K cole Polj technique et dans les Eocercices de Mathematiques , 

 qualors le terme ajoute a l'integrale differe des autres par la forme en 

 ce seul point qu'il renferme une integration de plus , cette nouvelle in- 

 tegration etant, dans les questions de mecanique, effectuee par rapport au 

 temps. Daiileurs, si Ton compare la valeur que prend ce nouveau terme 

 dans Le cas general a celle qu'il obtiendrait si dans le second membre de 

 ^equation proposee le temps etait remplace par une constante arbitraire, on 

 ohtiendra une regie donnee par M. Duhamel. On peut aussi comparer di- 

 rectement l'integrale generale relative au casou il existe un second membre, 

 a I integrale generale relative au cas ou ce second membre disparait, et alors 

 on obtient encore une regie fort simple suivant laquelle la seconde integrale 



