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 sededuit de la premiere a l'aide d'une seule integration relative a une va- 

 riable qui remplace le temps. Or ce qu'il importe de remarquer, c'est que 

 ces regies s'etendent au cas meme ou il s'agit d'une equation lineaire non 

 a coefficients constants, mais a coefficients quelconques; et fournissent en 

 consequence un moyen tres simple de developper en series les integrales 

 generates d'un systeme d equations differentielles, quand on connait des 

 valeurs approchees de ces integrales. 



» Concevons, pour fixer les idees., que les equations differentielles donnees 

 soient celles de la Mecanique celeste. Alors la variable principale de l'e- 

 quation caractertstique pourra etre exprimee en termes finis, quand on 

 conservera seulement, dans les equations differentielles, les termes desquels 

 dependent lesmouvementselliptiquesdes planetesetde leurs satellites. C'est 

 en cela que consiste la premiere approximation. Or, d'apres ce qu'on a 

 dit tout-a-1'heure, si, en cessant de negliger ces meraes termes, on veut 



obtenir successivement une seconde, une troisieme approximation, etc 



la seconde partie de chaque variable principale, ou celle qui depend de la 

 seconde approximation, pourra etre deduite tmm&iiatement de la premiere 

 a l'aide d'une seule integration effectuee par rapport a une variable auxiliaire 

 qui remplacera le temps; et par consequent cette seconde partie pourra 

 etre representee par une integrale defmie simple et unique. Pareillement 

 la troisieme partie de la variable principale, c'est-a-dire, la partie qui de- 

 pendra de la troisieme approximation, pourra etre representee par une 

 seule integrale deiinie double, etc.. . . 



» Ainsi, dans la Mecanique celeste, chacune des variables principals, ou 

 meme une fonction quelconque de ces variables, se composerade plusieurs 

 parties correspondantes aux approximations da premier, du second, du 

 troisieme ordre,. . . et la premiere partie s'exprimera toujours en termes 



finis, la seconde a l'aide d'une integrale definie simple 



» Il y a plus, lorsque le temps n'est pas explicitement contenu dans Is 

 equations differentielles donnees, comme il arrive dans la Mecaniqw 

 celeste, les integrales definies qu'on obtient sont susceptibles de trans 

 formations remarquables qui peuvent devenir tres utiles, comme nous le 

 montrerons par des exemples, et peuvent meme tres souvent dispenser 

 d'effectuer les integrations relatives au temps. 



» Enfin, au lieu de prendre pour valeurs approchees des variables 

 principals celles qui correspondent au mouvement elliptique, on pent 

 prendre pour valeurs approchees celles qui correspondent an mouvement 

 circulaire, et alors on obtient immediatementde la maniere la plus directe 



