(173) 
énoncée; enfin, on a le plan tangent au point à linfini sur M, N,, parce 
qu’on peut facilement déterminer, comme vous allez le voir, le plan cen- 
tral qui lui est perpendiculaire. Considérons, en effet, l'angle droit formé 
par MN et M,N, : on connaît la caractéristique OC du plan de ces deux 
droites, on a le plan central à la surface engendrée par MN, on peut donc, 
d’après ce que nous savons, construire le plan central à la surface engendrée 
par M,N,. Nous avons donc les plans tangents en trois points de M, N, 
à la surface engendrée par cette droite lorsque M, parcourt (M,), et, par 
suite, le plan tangent en un point quelconque de M, N,. 
Pour un autre déplacement de M, on aura une nouvelle surface engen- 
drée par M, N, pour laquelle on connaîtra les plans tangents aux différents 
points de M, N,. 
» Ces deux surfaces lieux. de normales se touchent, d’après un théo- 
rème de Sturm, aux centres de courbure principaux de la surface des ondes, 
et les plans res communs à ces deux surfaces sont les plans des sections 
principales. 
» Un plan quelconque mené par M, N, touche chacune de ces ice 
en un point; lorsque ce plan tourne autour de M, N,, il donne lieu à deux 
séries de points de contact formant deux divisions homographiques : 
» Les points doubles de ces deux divisions sont les centres de courbure princi- 
paux cherchés. | 
» Les plans tangents communs en ces points sont les plans des sections 
principales en M, à la surface des ondes : 
© » Les traces de ces plans sur le plan tangent en M, donnent donc les direc- 
tions des lignes de courbure. 
» La solution du deuxième problème permet de déterminer la tangente 
en M, à (M,), et par la solution du troisième problème vous venez de voir 
qu’on peut facilement construire le plan central à la surface formée par les 
normales à la surface des ondes qui s'appuient sur (M,). On sait que la 
trace de ce plan central sur le plan tangent en M, à la surface des ondes 
est la direction conjuguée de M,. On a donc pour un déplacement quel- 
conque de M, non-seulement la direction suivie par M,, mais aussi la 
direction conjuguée de celle-ci. On n pau déduire de là la direction des lignes 
de es en M,. 
» Les solutions que je viens de donner me paraissent bien propres à 
montrer l'avantage qu’on pourra retirer d'une étude détaillée du déplace- 
ment dans l’espace d’une figure de forme invariable. Elles ne perdent rien 
de leur sp lorsqu'on passe au cas plus général où le point M par- 
C. R., 1867, 19° Semestre. (T. LXIV, N° 4.) 24 
