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GÉOMÉTRIE, — Construction géométrique, pour un point de la surface des ondes, 
des centres de courbure principaux et des directions des lignes de courbure ; 
par M. Maxwarim. (Extrait d’une Lettre adressée à M. O. Bonnet.) 
Mitia Les propriétés relatives au déplacement infiniment petit d’une 
figure de forme invariable dont j'ai fait usage dans ma dernière Lettre (1) 
sont connues ou presque évidentes. Aujourd’hui, j’emploierai un théorème 
dont j'ai simplement donné l'énoncé dans une communication faite à la 
Société Philomathique (14 juillet 1866) (2). 
» Voici ce théorème : Lorsqu'un corps solide n’est assujetti qu'à quaire con- 
ditions, ses points se déplacent sur des surfaces; à un instant quelconque, les nor- 
males à toutes ces surfaces s'appuient sur deux droites. 
» Il en résulte que la connaissance des normales à quatre des surfaces 
engendrées entraîne celle des normales à toutes les surfaces décrites 
simultanément. ; - 
» Il suffit, en effet, quatre des normales étant connues, de chercher les 
deux droites (D), (A) qui les rencontrent, puis, de construire la droite 
issue d’un point quelconque I et s'appuyant sur (D) et (A), pour avoir la 
normale à la surface décrite par ce point I. 
» Lorsque, .parmi les conditions du déplacement du corps solide, on 
a une ligne qui doit passer par un point fixe O, les droites (D) et (A) sont, 
l’une dans le plan normal en O à la ligne donnée, et l’autre issue du 
point O. | 
» -Reprenons maintenant la surface des ondes et son ellipsoïde généra- 
teur. J'appelle toujours O le centre commun de ces surfaces, MN la normale 
en un point M de l’ellipsoide. Dans le plan OMN, élevons en O une per- 
pendiculaire à OM et portons sur cette droite un segment OM, égal à OM; 
le point M, appartient à la surface des ondes, et la normale M,N, en M, à 
cette surface est la perpendiculaire abaissée sur MN. ; 
» Appelons I le point de rencontre de MN et de M,N,, « et B les centres 
de courbure principaux de l’ellipsoïde situés sur MN, x,, B, les centres de 
courbure principaux de la surface des ondes situés sur M, N,. 
» L'angle MIM, est une figure de forme invariable dont le déplacement 
est assujetti à quatre conditions. Les côtés doivent être, en effet, tangents 
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(1) Voir Comptes rendus des Séances de l’Académie des Sciences, t. LXIV, p. 170. 
(2) Voir Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XI (2° série), p. 278. 
