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classes, etc.; construire les groupes de substitutions qui les caractérisent 
respectivement; trouver le nombre des substitutions de ces groupes. 
» Galois, qui le premier a abordé ces problèmes, les a résolus dans le 
cas très-simple où le degré donné M est un nombre premier; il a démontré 
qu’il n'existe, dans ce cas, qu’un seul type d'équations résolubles par radi- 
caux. ll a annoncé qu'il en est de même pour les degrés composés; mais 
_cette assertion, fondée sur une induction hâtive, est inexacte. Ma méthode 
montre, au contraire, qu'en choisissant convenablement le degré de l’équa- 
tion on peut multiplier à volonté le nombre de ces types. 
» La considération des racines imaginaires des congruences irréductibles 
s'introduit d'elle-même dans mon analyse, qui m'aurait certainement pas 
abouti si j'avais hésité à l’adopter. Je serais heureux d’avoir contribué par 
cet exemple à montrer la puissance de ce nouvel instrument d'analyse, que 
d’éminents géomètres paraissent regarder encore avec une certaine défiance. 
L 
» Définitions. — Un groupe de substitutions sera dit résoluble s’il carac- 
térise une équation résoluble par radicaux. 
» Un groupe de substitutions entre M lettres 4, 4,, 4,,..., ay_, est dit 
transitif, si ses substitutions permettent d’amener une lettre quelconque a, à 
la place d’une lettre donnée a (Cauchy). 
» Soient À, B, C,... des substitutions quelconques; la haben B—' ÀR 
est dite la transformée de A par B. Si B-'AB— A, les substitutions A et B sont 
dites échangeables. Si B~ AB — AC, A et B seront dits échangeables à C près. 
Si B transforme les unes dans les autres les substitutions d’un groupe G, 
B et G seront dits permutables l’un à l’autre. 
Théorèmes fondamentaux. — 1° Pour qu'un groupe caractérise une ` 
équation irréductible, il faut et il suffit qu'il soit transitif, 
» 2° Pour qu'un groupe H soit résoluble, il est nécessaire et suffisant 
qu’on puisse former une suite de groupes F, G,..., H, se terminant à H, et 
telle : 1° que chaque groupe de la suite contienne toutes les substitutions 
du précédent; 2° que ses substitutions soient échangeables entre elles, aux 
substitutions près du précédent (celles du premier groupe F étant échan- 
geables entre elles); 3° qu’il soit permutable à toutes les substitutions H. 
» Ce critérium, différent de celui de Galois, se prête beaucoup mieux que 
ce dernier à l'application. La marche qu’il suggère naturellement, et que 
j'ai suivie pour résoudre le problème général de construire les groupes ré- 
