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solubles, consiste à déterminer progressivement les groupes partiels F, G,.... 
En opérant ainsi, à chaque groupe partiel nouveau que l’on détermine, le 
champ des recherches se circonscrit davantage, les substitutions de H devant 
être cherchées parmi celles-là seulement qui sont permutables à chacun des 
groupes partiels déjà déterminés. 
» Les groupes résolubles que l’on peut ainsi former se partagent en deux 
catégories : 1° ceux qui ne sont contenus dans aucun groupe résoluble . 
plus général : à chacun d’eux répond un type général d'équations résolubles 
par radicaux; 2° ceux qui sont contenus dans les précédents : les équations 
correspondantes ne sont que des cas particuliers des types précédents. 
» Le problème à résoudre peut donc s’énoncer ainsi : 
» Construire parmi les groupes de substitutions entre M lettres tous ceux qui 
sont transitifs, résolubles et généraux. 
Hi 
» Parmi les groupes cherchés, il peut en exister dans lesquels les lettres 
puissent étre groupées en systèmes, contenant chacun le même nombre de 
lettres, et tels, que toute substitution du groupe remplace les lettres d’un 
même système par des lettres appartenant à un même système. J'appelle 
groupes primitifs ceux dans lesquels on ne peut imaginer aucun groupement 
de lettres en systèmes présentant la propriété ci-dessus, et je démontre ce 
premier théorème, déjà énoncé par Galois : 
» Dans tout groupe résoluble et primitif, le nombre des lettres est une puis- 
sance d'un nombre premier. | 
» Cela posé, les groupes transitifs, résolubles et généraux entre M lettres 
s'obtiennent par la construction suivante : | 
» Décomposons M, de toutes les manières possibles, en un produit de fac- 
teurs qui soient tous des puissances de nombres premiers. (Ces facteurs 
peuvent être égaux ou non, et l’on considérera comme différentes deux 
décompositions qui offrent les mêmes facteurs, mais dans un ordre diffé- 
rent.) Soit, par exemple, M = p” p" p une de ces décompositions. Dési- 
gnons les M lettres du groupe par le symbole général az, xxr; X, x’, X” étant 
des indices indépendants, variables l'un de o à p”— 1, l'autre de o à 
p"— 1, le troisième de o à p’”—1. Groupons les lettres en systèmes et 
hypersystèmes, en réunissant dans un même système les lettres dans les- 
quelles x et x’ ont chacun les mêmes valeurs, et dans un même hypersys- 
tème toutes celles dans lesquelles x a la même valeur. 
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