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naires, J'ai été assez heureux pour y parvenir, dans quelques cas, par descon- 
sidérations géométriques (*). Je demande aujourd’huila permission d’appeler 
l'attention sur une propriété de l’équation différentielle des lignes de plus 
grande pente, qui semble promettre beaucoup plus. 
» Soit F (x, y, z) = 0 l'équation d’une surface rapportée à trois axes rec- 
tangulaires ox, 0y, oz, ce dernier étant supposé vertical. Si l’on forme 
l'équation 
et que l’on en élimine z au moyen de la proposée, l'équation ainsi obtenue 
e dy 
(er, 2) = O, 
est l'équation différentielle de la projection des lignes de plus grande pente 
de la surface sur le plan xoy. 
» Oril arrive, et c’est là le fait, assurément très-remarquable, qui forme 
l'objet de la présente Note, que les intégrales de cette équation qui ré- 
pondent aux lignes de faite et de thalweg de la surface proposée s’obtien- 
nent sans que l’on ait besoin de connaître l'intégrale générale; et toutefois 
elles en sont des cas particuliers. Voici quelques exemples qui éclairciront 
ma pensée. 
» I. Soit, en premier lieu, 
m2 2 
F(x,y z) = ++ 
2 
pe — L = Q. 
La surface que cette équation représente est un ellipsoïde à trois axes iné- 
gaux. On sait à priori que les sections principales contenues dans les plans 
yOz, zox sont des lignes de faite au-dessus du plan xoy et des lignes de 
thalweg au-dessous de ce même plan. Or, ici on a (dans ce qui va suivre 
nb: dy d 
J ecrirai y’, y” pour F 75 
IKEJ J) = bay’ — ad y =o. 
On satisfait à cette équation : 1° en faisant y = 0, car il en résulte y’ = 0, 
quelque valeur que l'on attribue à x; 2° en divisant les deux termes par y’ 
et faisant ensuite x =o, car il en résulte J'=®, et ces deux termes 
(*) Comptes rendus, t. LIII, p. 808 et suiv. 
