( 569 ) 
nombres premiers complexes conjugués. Et alors il suffit de chercher le 
caractère des différents facteurs du nombre N par rapport à a + bi. On 
ramènera ces opérations à d’autres s’effectuant sur des nombres primaires, 
eton leur appliquera le théorème fondamental ( Theoria residuorum biqua- 
draticorum, $ 67), théorème tout à fait analogue à la loi de réciprocité de 
la théorie des résidus quadratiques. 
» Mais Gauss indique une autre méthode pour déterminer le caractère 
biquadratique d’un nombre N par rapport à un nombre premier 4n + 1, 
qui a l'avantage de n’exiger que la décomposition du module en deux 
carrés a? + b?, et dans laquelle on n’a, par suite, à rechercher que les 
facteurs premiers ordinaires du nombre N. 
» Gauss a, en effet, reconnu par induction que le caractère biquadra- 
tique d’un nombre premier +q, prenant le signe Æ suivant que 
; : b e Le 
q= 4n + 1, dépend uniquement de la valeur de z (mod. q). Ainsi soient 
i F 
deux nombres premiers p =a + b’, p =a? + b”, pour lesquels à 
soient congrus suivant le module q; + q a le même caractère par rapport 
à p et à p'. Mais il ne nous apprend rien sur le moyen de reconnaitre 
b ; : ; i 
quels sont ceux des rapports — qui sont relatifs aux familles A et C ou B 
a 
et D, et qui indiquent si + q est résidu biquadratique, simple résidu ou 
non-résidu. 
4 
» Je suis parvenu à résoudre complétement cette question, de sorte 
que, d’après mes recherches, étant donné un nombre premier +q, il est 
trés-facile de partager les rapports s relatifs à tous les nombres premiers 
4n+1 en les quatre classes, et ma méthode serait fort commode pour 
dresser des tables des caractères biquadratiques des nombres premiers. De 
plus, il résulte de cette méthode un moyen très-simple pour obtenir le 
Caractère d’un nombre premier donné par rapport à un autre seulement. 
» Disons d’abord comment on peut distinguer les classes relatives à 
` 
À et C et les deux classes réunies ensemble relatives à B et D. Posons 
a = (mod, q); Si 1 + &? est un résidu quadratique de q, + q appartient 
aux familles A et G; s'il est non-résidu, il appartient à B et D. Si 1 + &? 
est un résidu, représentons-le par °; toutes les fois que 2(e? + e) est lui- 
meme résidu quadratique, +q appartient à A; s’il est non-résidu, + 
appartient à C. ; 
