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» Ce résultat est d'importance dans le cas R= o, où les racines de 
l'équation x = o forment un système en involution (Salmon). Alors la 
formule ne contient que le carré de 9, et, en éliminant cette fonction, 
on obtient B,# comme fonction cubique de Z et m seuls. Donc on à le 
théorème : 
» En supposant R = o, l'équation u = o sera réduite à une équation cubique 
Pr +3Qr?+3Sr+T—o, 
à l’aide de la substitution 
si nous désignons par :,, z,, Z, les racines’ de cette équation, les facteurs quadra- 
tiques de u seront 
m-i, m— ni i—i. 
~ 
D'ailleurs, comme on a pour z = Z; 
asg — IV—(A, 7? jus 2 Ån Zi og Are): 
on trouve, en joignant à cette équation l'équation m = z;/, les quantités 
x°, £Y, V? proportionnelles à des quantités données, de manière qu’il n’y a 
plus besoin de résoudre une équation quadratique. 
» Aucune des formes types qu'on a données ci-dessus n’est possible 
lorsque B,, et R s'évanouissent tous deux. Alors il faut distinguer les deux 
cas suivants. On tire de l'équation B,, = o l’invariant D comme fonction 
rationnelle de A, B, C; mais entre ces quantités pourront avoir lieu deux 
relations différentes : 
r es ; ; : : 
» 1°? C? —— =o. Dans ce cas l'équation u a une racine triple , 
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‘équation x = o contient la même racine deux fois, l= o et m = o une 
fois. Réciproquement, lorsque u a un facteur linéaire triple, cette condition 
Sera toujours remplie. : 
PC AAC JA a + í Bs o(E = 0, P = 0) Alors 
la fonction u est le produit d’une forme quelconque + du quatrième ordre, 
el d'une des trois fonctions quadratiques dont les carrés sont des combi- 
naisons de ? avec son Hessien. De plus, cette fonction quadratique n’est 
Pas différente de l, donc ¿est facteur de u. Réciproquement, les conditions 
“raie seront toujours remplies lorsque u se compose comme on vient de 
e dire, 
» Ces théorèmes n'auront d’exceptions que lorsque l et m ne dif- 
