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tiendra une suite de groupes essentiellement généraux et distincis (*), qui 
épuiseront la série des groupes I. 
On pourra donc répartir les groupes I en classes, suivant la décompo- 
sition du nombre n en deux facteurs à laquelle ils correspondent. Chacune 
de ces classes pourra elle-même être subdivisée suivant la nature des 
groupes A et T, à la détermination desquels tout se ramène. 
» Mais si l’on sait déterminer d’une manière générale les groupes simples T, 
le problème pourra être considéré comme résolu : car A est un groupe de 
substitutions entre À choses résoluble, transitif et général. En cherchant à 
le déterminer, on retombe donc sur le problème initial, mais avec une réduc- 
tion très-considérable dans le nombre des lettres : on pourra ensuite faire 
subir au problème un nouvel abaissement, et arriver ainsi très- rapidement 
à la solution complète. 
» Le problème se ramène donc au suivaut : 
Déterminer tous les groupes primaires et simples les plus généraux entre 
p™ lettres ( p étant premier). 
IV.. 
» Sin, = 1, il wexiste qu’un seul groupe primaire simple et général, con- 
tenant toutes les substitutions linéaires. = 
» Si n,>1, il n’en est plus ainsi en général : posons dans ce cas 
ni = YT Ti... T, Ti,- étant des nombres premiers égaux ou non qui di- 
visent p”— 1, et dont l’ordre est indifférent; chacun des groupes simples 
cherchés correspond à à une décomposition de cette espéce = et P se 
construire comme nous allons l'indiquer. 
» Soit d’abord n, = v, r°r%... se réduisant à l’unité. Désignons par ! 
une racine me d’une congruence irréductible de degré y, et posons 
T+iy+...+i 'z=u, et en général x -+ i” y... + i0797" z = u, : OÙ 
obtiendra les substitutions du groupe simple cherché en combinant en- 
semble : 1° une substitution f, remplaçant x, 7,..:,2 par des fonctions 
linéaires de ces indices telles, qu’elle remplace respectivement Uy., Ur: 
par au,.…, OPU... a étant une racine primitive de la congruence 
ie VE TUT 
(*) Ceci souffre une exception : dans le cas particulier où p™ se réduit à 3 ou à 5, on doit 
exclure dans la construction qui précède ceux des groupes A qui correspondent à une décom- 
position de À en facteurs dont le dernier soit égal à 2 : car les groupes qu’ils servent à former 
cesseraient dans ce cas d’être généraux. 
(**) Dans le cas particulier où p — 3 on devra exclure, dans cette construction, comme 
ne fournissant aucun groupe général, toutes les décompositions dans lesquelles » = 2: 
