( 800 ) 
et que le lieu de ces points est une courbe d'ordre r; 2° qu'une des courbes 
du système possède une branche d'ordre s qui soit multiple d'ordre s 
(c’est-à-dire qui soit l'ensemble de s’ courbes égales, coïncidentes) ; 
3 qu’indépendamment de leur point multiple d'ordre r, d courbes pos- 
sèdent un point double, et d’ courbes un point de rebroussement; 4° que 
toutes les courbes ont chacune une tangente multiple d’ordre t’, et que toutes 
ces tangentes multiples enveloppent une courbe de la classe #; 5° enfin, 
que toutes les courbes ont une tangente d'inflexion, et que ces tangentes 
enveloppent une courbe de la classe À, indépendamment des autres tan- 
gentes d’inflexion que chacune des courbes peut posséder. 
-» Ce sont les facteurs 7” et t’ qui ont été omis dans mes formules. C’est à 
l’obligeance de M. Zeuthen que je dois cette remarque. L'erreur est mani- 
feste. Pour la première formule, on cherche l'expression de y, connais- 
sant u. Plusieurs démonstrations se présentent sans difficulté. On fait, 
par exemple, ce raisonnement : Par un point x d’une droite L passent 
pœ courbes qui coupent L en y (m — 1) points u. Donc il existe ap.(m—1) 
points x qui coïincident chacun avec un point u correspondant. Ces points 
appartiennent aux courbes tangentes à L, moins ceux qui forment des so- 
lutions étrangères. Lorsque x est en un des r points d'intersection de Let 
de la courbe d'ordre r, lieu des points multiples d'ordre r’ de toutes les 
courbes du système, par ce point passent u courbes, dont une a un point 
multiple d'ordre r’. Si le point x est considéré comme appartenant à une 
des branches de la courbe, il lui correspond (r’— 1) points & appartenant 
aux (r’ — 1) autres branches, et coincidant avec x, ce qui fait (7° — 1) solu- 
tions étrangères; et le point x devant être considéré comme appartenant 
successivement aux r’ branches de la courbe, il s'ensuit qu’il y a FE 1) 
solutions étrangères. Mais il existe sur L, r points semblables, ce qui fait 
donc r r'(r'— 1) solutions étrangères. 
» On reconnait de même que le terme relatif aux tangentes multiples dans 
la seconde formule doit contenir le facteur 7’, et être £#(#—1). 
» Après cette rectification, je passe à l’objet principal de la présente 
communication, qui concerne les courbes multiples que peut renfermer un 
système d’ordre quelconque, courbes que j'appellerai exceptionnelles. 
. . 3 es- 
» Courbes exceptionnelles. — Lorsqu'on trouve pour solution d’une qu 
: | x ; : ns 
tion une courbe, par exemple du quatrième ordre, il peut arriver, n 
certains cas particuliers de la question, que cette courbe soit l’ensemble s 
7 f ; -o „men 
deux coniques, et même que les deux coniques coincident et form 
i 
