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par des points et de toucher des droites, on pourra trouver ainsi, pour des 
positions particulières des données de la question, l’ensemble d’une conique 
double et de certains points représentant des sommets, de même qu'on 
trouve, dans la construction d'une conique, l’ensemble d’une droite et de 
deux points situés sur la droite : ce qui arrive, par exemple, dans le cas 
d'une conique qui doit toucher quatre droites et passer par un point 
donné, lorsque ce point est situé sur une diagonale du quadrilatère formé 
par les quatre droites. 
» Le nombre de ces sommets satisferait à la condition que la courbe ainsi 
représentée admit le même nombre de tangentes menées par un point, que 
les autres courbes du système (en regardant comme tangentes multiples 
les droites menées parles points multiples de chaque courbe); ce qui serait 
un second caractère commun aux courbes du système. 
» Il est à remarquer que les systèmes de surfaces du second ordre offrent 
un exemple d'un étre géométrique représentant une surface du système, de 
même que deux points représentent une conique : c’est l’ensemble de deux 
plans et de deux points situés sur l’arête, intersection des deux plans. Ce 
systéme de deux plans et de deux points peut satisfaire à huit conditions. 
Voilà pourquoi il peut représenter une surface. Tout plan mené par Pun 
des deux points est un plan tangent à la surface : de sorte que par une 
droite on peut mener deux plans tangents à la surface. C'est en faisant 
constamment usage de cette considération, que j'ai déterminé, par des 
démonstrations rigoureuses, les caractéristiques de tous lestypes de systèmes 
de surfaces du second ordre (1). M. Zeuthen, dans une communication à 
l’Académie des Sciences de Copenhague, avait aussi remarqué ce système 
de deux plans et de deux points, qui lui a été utile de même pour la déter- 
mination des caractéristiques des surfaces qui satisfont à huit conditions 
simples, et forment la XVIII: classe de mon Mémoire (2). 
» D’après les considérations précédentes, je désirais former des systèmes 
de courbes du quatrième ordre, dans lesquels une des courbes serait une 
conique double, et où l’on reconnaîtrait la nécessité de regarder certains 
points comme des sommets par lesquels passeraient des tangentes de la 
courbe. Pensant que quelques systèmes de surfaces du second ordre pour- 
raient donner, par la projection de leurs courbes d’intersection, les orom 
ples que je désirais, j'ai eu recours à M. de la Gournerie, très-familiarisé, 
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(1) Comptes rendus, t. LXII, .p. 405. 
(2) Voir Nouvelles Annales de Mathématiques, 2° série, t. V, p. 540. 
