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comme on le sait, avec les conceptions de l'espace, et parfaitement au cou- 
rant, du reste, de la théorie de ces systèmes de courbes. Cet habile géo- 
mètre m'a communiqué les deux exemples suivants, qui me paraissent 
résoudre la question. 
» Soient trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz; dans le plan xy une co- 
nique À, qui coupe Oy en deux points a, a’; et dans le plan zy une coni- 
que B ayant la corde aa’ pour axe. Ces deux coniques déterminent un sys- 
tème de surfaces U du second ordre. 
» Concevons dans le plan zy une conique C ayant un de ses axes sur Oy; 
de sorte que les deux coniques B, C se coupent en quatre points dont les 
projections sur O y coincident en deux points c, c’. Enfin, que cette conique 
soit la base d’un cylindre ayant ses arêtes parallèles à Ox. 
» Ce cylindre coupe les surfaces du système suivant des courbes du 
quatrième ordre, dont les projections sur le plan xy forment un système 
de courbes du Jung ordre ayant deux points doubles en €, c’. Ces 
courbes satisfont toutes à sept conditions communes indépendamment des 
deux points doubles. Par une droite L, parallèle à Oz, on peut mener huit 
plans tangents à chaque courbe d’intersection du cylindre et d’une surface 
du système. Les traces de ces plans sur æy sont huit tangentes de la courbe 
du quatrième ordre projection de cette intersection. 
» Parmi les surfaces U, il y en a une pour laqueile le plan xy est un 
plan diamétral principal, de même que pour le cylindre. Il s’ensuit que la 
courbe d’intersection de cette surface et du cylindre a pour projection une 
conique double Z, représentant une courbe du quatrième ordre. Cette coni- 
que passe par les deux points €, c’, et doit satisfaire à sept autres conditions, 
dont trois sont nécessaires pour la déterminer, et quatre serviront pour dé- 
terminer sur cette conique quatre points tels, que toute droite menée par 
un de ces points sera la trace d’un plan vertical tangent à la courbe de 
l'espace, dont la conique est la projection. Ces quatre points sont les inter- 
sections de la conique A et des deux arêtes du cylindre contenues dans le 
plan XY : car les tangentes en ces quatre points à la courbe à double cour- 
bure dont la conique est la projection, sont normales au plan xy, de sorte 
que tout plan mené par une de ces tangentes est tangent à la courbe, et la 
trace de ce plan représente nne tangente à la projection de la courbe, 
c'est-à-dire à l ellipse Z. 
» On adonc un système de courbes du quatrième ordre, dans lequel une 
conique double, et quatre points pris convenablement sur la courbe, satis- 
font aux conditions communes du système. 
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