( 804 ) 
» Soient trois axes rectangulaires Ox, O y, Oz; une droite D dans le 
plan æy; un point ĝ sur cette droite; un point I dans l’espace; et deux 
coniques A, À’, dans le plan yz, ayant leur centre commun en O, et leurs 
axes dirigés suivant O y et Oz. Ces coniques se coupent en quatre points, 
qui se projettent sur Oy, en deux points €, c’. ; 
» Concevons un plan K passant par la droite D. I} existe une surface U 
passant par la conique A, et par le point I, et tangente an plan K en 8 de la 
droite D. De même, il existe une surface U’ passant par la conique A’et par 
le point I, et tangente au plan Ken 9. Ces deux surfaces se touchent en 6, 
et se coupent donc suivant une courbe du quatrième ordre qui a un point 
double en ce point 8 : la projection de cette courbe sur le plan xy est une 
courbe du quatrième ordre Z ayant aussi un point double en 9, et,en outre, 
deux points doubles en c et c', parce que la courbe gauche du quatrième 
ordre passe par les quatre points d'intersection des deux coniques A, A’, 
dont les projections coïncident deux à deux en c et c’. Ainsi la courbe 
plane du quatrième ordre a trois points doubles. 
» Si le plan K tourne autour de la droite D, on obtient une autre courbe 
du quatrième ordre X’. On a donc ainsi en projection des courbes du qua- 
trième ordre ayant trois points doubles communs, et auxquelles on peut 
mener par un point six tangentes. 
» Lorsque le plan K est perpendiculaire au plan xy, les deux surfaces 
U, U’, qui lui sont tangentes en 4, ont le plan æy pour plan diamétral . 
principal, et la projection de leur courbe d’intersection est une conique V. 
Les traces des deux surfaces U, U’ sur le plan xy sont deux coniques qui se 
touchent en 6, et ont deux points d’intersection v, +’ sur la conique V. Les 
tangentes à la courbe d’intersection des deux surfaces aux deux points #, v" 
sont perpendiculaires au plan æy, et tout plan vertical mené par un de ces 
points est tangent à la courbe; sa trace représente donc une tangente à la 
conique V, projection de cette courbe. 
» Les courbes du. système ont trois points doubles en c, c' et 6, ce qùi 
équivaut à neuf conditions ; elles satisfont donc à quatre autres conditions: 
La conique V passe aussi par les trois points c, c’ et 4, et doit satisfaire aux 
quatre conditions du système. Or elle est tangente à la droite D en 6. et 
elle passe par la projection du point I, de même que toutes les courbes du 
système. Elle est donc déterminée; mais il faut satisfaire encore à deux 
conditions : ce sont ces deux conditions qui fixent sur la courbe la posi- 
tion des deux points v, o’ » Qui jouissent de la propriété que toute droite 
