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a, b, c, d étant des entiers pris suivant le module 5; et par suite elle peut, 
comme l'équation modulaire du même degré, être abaissée au cinquième. 
» Le but de cette Note est de donner une réduite facile à calculer, et 
renfermant les conditions qui viennent d’être énoncées. On s’y trouve 
amené naturellement par l'étude de l’invariant gauche du quinzième ordre 
des formes binaires du sixième degré, exprimé en fonction des racines. 
M. Salmon a montré (*) qu’en égalant à zéro cet invariant, on obtient la 
condition propre à exprimer que les six points déterminés par les racines 
de l’équation correspondante sont en involution. Ce fait remarquable peut 
être mis en évidence à l’aide des considérations suivantes, et l’on est ainsi 
conduit de la manière la plus simple à la décomposition de l'invariant 
gauche en un produit de quinze facteurs, qui eux-mêmes sont tous des 
invariants. 
I. Soit 
f= (2, B, h 8 V. Fa)(x, y) 
la forme proposée : désignons les racines de l'équation obtenue en l’égalant 
à zéro par 
Los Los Lys Xa, Las La: 
Nous pouvons les partager en trois couples de quinze manières distinctes; 
La Lor Li Ly Xo XL Étant l'un des systèmes ainsi obtenus, prenons la 
fonction 
(Lo Xi) (£ — x3) (La — Lo) + (Lo — Æ) (X, — Xa) (Xa — La) 
= Le Lo (Lat Ky — X—XI) + Lis (Eo H Lo — Xa — Ta) 
+ Lola (XH Li Lo — Lo) 
qui, égalée à zéro, exprime que les points correspondants sont en involu- 
tion. En transposant les deux lettres d’un même couple, et en permutant 
les couples entre eux de toutes les manières possibles, nous donnons nais- 
sance à quarante-huit permutations de racines, pour lesquelles la fonction 
précédente garde la même valeur absolue. Opérons de même sur les quinze 
systèmes analogues à celui que nous venons de considérer; nous aurons 
15X48=—1.2.3.4.5.6 permutations distinctes, ce qui est bien en effet le 
nombre des permutations de six lettres. 
» A chacun de ces systèmes correspond une expression analogue à la pré- 
cent et le produit de ces quinze quantités est une fonction symétrique 
HS Re 
(*) Lessons introductory to the modern higher Algebra (2° édition), p. 210- 
