( 1084 ) 
» IV. La transformation du cinquième ordre dans la théorie des fonc- 
tions elliptiques conduit à des équations du sixième degré qui, comme on 
sait, sont susceptibles d’abaissement, il était donc intéressant de leur 
appliquer la méthode qui vient d’être exposée. Nous allons voir qu’on 
retrouve ainsi les réduites déjà connues. Considérons en premier lieu 
léquation modulaire relative à la transformation du cinquième ordre 
Fe. + 
entre x = VÀ et u—V#k, 
a + hu k + 5u? kt — 5u* k? — huk — u’ = o. 
On sait que les six valeurs de x sont 
x = u? sin coam 2 w sin coam 4w, 
r . K yK — iK' 
w étant successivement A et ee 
senterons par Le, XLo, Lı,- Les travaux de Galois nous ont appris que 
toute fonction de ces six quantités qui demeure invariable pour toutes les 
substitutions de la forme 
pour » = 0, 1, 2, 3, 4. Nous les repré- 
K akit 
ck+d 3 
Zk | 
telles que ad — bc est résidu quadratique suivant le module 5, s'exprime 
rationnellement après l’adjonction de la racine carrée du discriminant. Or 
la fonction U,, est dans ce cas; et, en effet, nous allons reconnaitre que 
notre réduite a une racine nulle. En la supprimant, les autres racines sont 
U, U,,..., c’est-à-dire, en vertu des relations écrites plus haut, 
(Lx — Lo)(Li — L) (T — La) 
(La —Xi) (La — Xo) (X, — £), 
» On doit donc obtenir la réduite de l'équation modulaire trouvée par 
M. Hermite (*). C’est effectivement ce qui arrive. Les invariants À, B,C 
sont 
0, 
= he (= y, 
Co, 
et, par suite, notre réduite, après la suppression de la racine nulle, 
ET 
(*) Comptes rendus, mars 1858, t. XLVI, p. 513. 
t 
