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minore di 5, e più precisamente a quelle quadriche rispettivamente a 4, 3j 2 

 dimensioni con le quartiche in esse contenute, che costituiscono Tordinario 

 spazio di rette, il complesso lineare e la congruenza lineare di rette, coi 

 complessi quadratici, congruenze quadratiche e rigate biquadratiche, che in 

 essi rispettivamente sono contenuti. 



La geometria degli spazi ad un numero qualsiasi n di dimensioni ha 

 preso ormai il suo posto tra i rami della matematica ; e, anche quando la si 

 consideri all' infuori delle importanti applicazioni alla geometria ordinaria di 

 cui essa è capace, cioè anche quando l'elemento o punto di un tale spazio 

 non si consideri come un ente geometrico dello spazio ordinario (e neppure, 

 il che poi fa lo stesso, come un ente analitico costituito dai valori di n quan- 

 tità variabili), ma bensì come un ente a sé, la natura intima del quale si lascia 

 indeterminata, non si può rifiutare di ammetterla come scienza, in cui tutte 

 le proposizioni sono rigorose, perchè dedotte con ragionamenti essenzial- 

 mente matematici; la mancanza di una rappresentazione pei nostri sensi 

 degli enti che essa studia non ha molta importanza pel matematico puro. 

 Sorta, si può dire, colla celebre memoria del 1854 di Riemann « Ueber 

 die Hyjìoihesen , welche der . Geometrie zu Grunde liegen » (*) , la geo- 

 metria ad n dimensioni va sviluppandosi secondo due vie diverse: l'una 

 riguarda la teoria della curvatura degli spazi e si connette quindi alla 

 geometria non-euclidea, l'altra invece studia la geometria proiettiva degli 

 spazi lineari (cioè di curvatura nulla, « ebene Mannigfaltigkeiten » di 

 Riemann) ed è appunto questa ch'io mi propongo di seguire in questo 

 lavoro. Essa apre ai cultori della matematica un campo sconfinato di 

 ricerche piene d' interesse, le quali comprendono come caso particolare 

 tutta la geometria ordinaria; e si può affermare con sicurezza che da 

 queste ricerche più generali anche questa trarrà un giovamento immenso. 



Le relazioni principali che legano tra loro gli spazi lineari contenuti 

 in uno spazio lineare ad n dimensioni furono già date completamente da 

 Clebsch, Jordan, D'Ovidio, e recentemente in modo meno analitico 



(*) Bisogna però notare che già prima il Grassmann nella sua « Ausdehnungslehre » del 1844 

 aveva svolto insieme con altri concetti importanti anche questo; ma la sua opera s'incomincia a stu- 

 diare solo da poco tempo. li seguente passo assai notevole che si trova in uno scritto del Grassmann 

 pubblicato nel 18-15 nel o Grunerl's Archilo » (V. la 2" edizione à%\Wi. Ausdehnungslehre von 1844 », 

 pag. 277) mostra come nel concetto di quell'acuto scienziato V Ausdehnungslehre « fosse appunto 

 quella clie oggidì chiamiamo « geometria ad n dimensioni « : « Heine Ausdehnungslehre bildet die 

 « abstrahle Grundlage der Raumlehre {Geometrie), d. h. sie ist die von alien ràumlichen Anschauungen 

 « gelosie rein mathematische Wissenschaft, deren specielle Anwendung auf den Raum die Raumlehre 

 « ist a perocché, aggiunge « die Raumlehre, da sie auf etwas in der Natur gegebenes , nàmlich den 

 « Raum, zuruchgeht, ist kein Zweig der reinen Mathematìh, sondern eine Anvendung derselben auf 

 <i die Natur ». 



