6 STUDIO SULLE QUADEICHE ECC. 



specie che, dal punto di vista proiettivo, vi siano da considerare. Nel § 3 

 stabilisco le proprietà degli spazi lineari tangenti alia quadrica, le varie 

 equazioni tangenziali di questa, ed il numero e la distribuzione degli 

 spazi lineari di punti delle varie dimensioni contenuti in una quadrica. 

 Noto, a proposito del numero di questi spazi, che non è esatto quello 

 dato dal Veronese, e nel § 4 ottengo di nuovo lo stesso numero di prima, 

 facendo uso precisamente del metodo usato dal Veronese e che già dissi 

 esser stato introdotto dal Klein, cioè della proiezione {stereografica) della 

 quadrica da un suo punto su un piano (vale a dire, su uno spazio lineare 

 ad w — 2 dimensioni). Nel § stesso approfitto di questa rappresentazione 

 della quadrica su un piano per cercare le relazioni che passano tra i due 

 sistemi diversi di spazi lineari a p dimensioni che sono contenuti nella 

 quadrica ad un numero pari 2 /) di dimensioni. Queste relazioni presentano 

 diversità tra i due casi di p pari ed impari, diversità che risalta pure in 

 un importante teorema, che credo nuovo, e che dà il numero dei punti 

 comuni a due spazi algebrici hp dimensioni contenuti nella quadrica stessa; 

 questo teorema comprende quindi come casi particolari il teorema di 

 Ghasles sul numero dei punti comuni a due curve algebriche segnate su 

 una quadrica ordinaria, ed il teorema di Halphen sul numero delle rette 

 comuni a due sistemi algebrici di rette. Finalmente nel § 5 dimostro la 

 possibilità di generare una quadrica ad ?i — 2 dimensioni, mediante le in- 

 tersezioni degli elementi corrispondenti di due sistemi lineari reciproci di 

 piani più volte infiniti, proposizione a cui io ero già giunto indipenden- 

 temente, e che credevo nuova, ma che poi ho trovata, enunciata soltanto, 

 nella memoria del Veronese. 



Viste così le principali proprietà di una quadrica, passo nella 2^ parte 

 a dedurne le proprietà relative a fasci e schiere di quadriche. Nel § 1 

 studio la teoria della polarità rispetto ad un fascio di quadriche, il che 

 conduce a considerare un sistema di spazi lineari ad n — 3 dimensioni 

 polari dei punti dello spazio, il quale gode di proprietà analoghe a quelle 

 del complesso tetraedrale di rette nello spazio ordinario. Nel § 2 cerco gli 

 spazi quadratici e lineari contenuti nella quartica d'intersezione di un fascio 

 di quadriche, e dalle cose dette nel § 5 della 1' parte deduco il modo di ge- 

 nerare ogni quartica su una data quadrica mediante le intersezioni di questa 

 con sistemi reciproci di piani , donde potrò poi dedurre nella 3* parte la 

 possibilità di generare ogni complesso quadratico mediante due stelle re- 

 ciproche di complessi lineari. Nel § 3 passo alla classificazione delle quar- 

 tiche, intersezioni di quadriche; e qui voglio entrare in qualche dettaglio. 



