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Il problema della riduzione simultanea di due forme quadratiche a 

 somme di quadrati fu risolto, com'è noto, pel caso più generale da Cauchy 

 e da Jacobi. Risultava però da questa soluzione che vi sono dei casi in 

 cui quella riduzione simultanea a somme di quadrati non si può effettuare. 

 Nasceva quindi la questione se vi fossero forme {canoniche) da sostituire 

 in tali casi alle somme di quadrati, ed anche quest'altra domanda (a cui 

 nel caso di due forme quadratiche riducibili a somme di quadrati già si 

 poteva rispondere): quali condizioni occorrano perchè si possa con una 

 sostituzione lineare trasformare una coppia data di forme quadratiche in 

 un'altra coppia data , cioè perchè queste due date coppie si equival- 

 gano dal punto di vista dell'algebra moderna. Ora il Weierstrass (che 

 già aveva studiato quest'argomento in una memoria del 1858 dei <.<■ Mo- 

 nutsbenclìle » dell'Accademia di Berlino) risolveva completamente queste 

 questioni anahtiche nella memoria « Zur Theorie der hilinearen und 

 quadrali sichen Foì^men » del 1868 {Monat'^b. di Berlino). Ivi :n fatti con- 

 siderando i divisori elementari {« El ementa rtheiìer «) del discriminante 

 di una forma bilineare o quadratica ottenuta combinando linearmente ad 

 arbitrio due forme date, il Weierstrass dimostra il seguente importan- 

 tissimo teorema: « la condizione necessaria e sufficiente afQnchè una 

 « coppia di forme bilineari o quadratiche si possa trasformare in un'altra 

 « coppia, e che queste due coppie abbiano gh stessi divisori elementari ». 

 E per via, nel dimostrare questo teorema, egli è condotto a trovare e ad 

 usare in luogo di quelle forme certe espressioni più semplici, che si 

 possono chiamare forme canoniche e godono della proprietà di avere 

 per coefficienti precisamente le costanti dei divisori elementari, vale a 

 dire quantità che sono invarianti simultanei della coppia di forme bili- 

 neari quadratiche (*). Subito dopo la pubblicazione della memoria del 

 Weierstrass, il Klein nella sua dissertazione inaugurale « Ueber die 

 « Traìisfoìvnation der allgemeinen Gleichung zweiten Grades zwischen 

 « Linien-Coordinaten auf cine kanonische Form « mostrava come essa si 

 potesse applicare ad una classificazione dei complessi quadratici, e sei anni 

 dopo (1874) il Weiler faceva completamente questa classificazione basata 

 sul lavoro di Weierstrass nella memoria: « Ueber die verschiedenen 

 « Gattimgen der Complexe zweiten Grades « [Mathematische Annalen 



(*) I rapporti di queste quantità danno gì' invarianti assoluti della coppia di forme. In parti- 

 colare se si tratta di forme quadratiche e l'una delle due si considera come assoluto dello spazio 

 ad n — I dimensioni, quegl' invarianti assoluti danno il numero dei parametri che determinano la /'orma 

 di una quadrica di specie qualunque in quello spazio. 



