^0 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



Nella 3' parte di questa dissertazione io applico, come già dissi, i 

 risultati delle prime due parti alla geometria della retta (*). 



L'idea di considerare la geometria della retta come quella di una 

 quadrica a 4 dimensioni in uno spazio lineare a 5 dimensioni si trova, 

 possiamo dire, in tutti i principali lavori che dalla « Neue Geometrie des 

 Raumes n di Pliicker (1868-69) in poi si scrissero sulla geometria della 

 retta, e più particolarmente negli importanti lavori del Klein e del Ve ss. 

 Quanto al Klein basti ricordare quel bellissimo scritto « Uebe?' Linien- 

 geometrie und metrische Geometrie » {Math. Ann. Bd. V), che in poche 

 pagine contiene un gran numero di concetti fecondi, di cui alcuni già 

 abbiamo citati. Però, sebbene Tidea non sia nuova, pure si può dire, se 

 ben si osserva, che essa non fu ancora posta sistematicamente ad effetto. 

 Si noti inoltre che la teoria dei complessi quadratici svolta dal Klein 

 nella sua memoria , ormai classica : « Zur Theorie der Complexe erslen 

 und zweiten Grades » {Math. Ami. Bd. Il) si basa quasi sempre sulla 

 possibilità della riduzione delle due equazioni di un complesso quadratico 

 a somme di quadrati, cioè sulla esistenza di 6 complessi lineari fonda- 

 mentali pel complesso quadratico e a due a due involutori ; e quindi ces- 

 sano di valere nella massima parte dei casi le dimostrazioni ivi date, 

 quando il complesso quadratico non sia più quello generale. In particolare 

 non si conosce più nulla intorno alla serie (omoFocale) dei complessi qua- 

 dratici aventi la stessa superGcie singolare, intorno ai complessi lineari 

 fonda^mentali, cioè rispetto ai quali il complesso quadratico corrisponde a 

 se stesso, e via dicendo. 



Ora a me è riuscito, considerando appunto la geometria della retta come 

 quella di una quadrica a 4 dimensioni in uno spazio lineare a 5 dimensioni, 

 di fare la teoria generale del complesso quadratico , della sua superficie 

 singolare, della sua serie omofocale, dei suoi complessi Uneari fondamen- 

 tali, ecc., qualunque sia la specie del complesso quadratico; ed anzi così 

 facendo io trovo parecchie proprietà che distinguono tra loro le varie specie, 

 mentre il Weiler si era quasi soltanto occupato nella sua classificazione 

 delle proprietà che distinguono le superficie singolari : io ottengo pure 

 queste proprietà, ma colla pura geometria della retta e non col cercare, 

 come fa il Weiler, ogni volta l'equazione di quella superficie in coor- 

 dinate di punti. Insieme con questo studio faccio pure quello analogo per 



(") È questa terza parte della nostra dissertazione che, come già avvertimmo, verrà pubblicata 

 in un'altra memoria ■ — ^Gennaio 1884). 



