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le congruenze quadratiche e per le rigate biquadratiche, considerando il 

 complesso e la congruenza lineari di rette, come quadriche risp. a 3 ed 

 a 2 dimensioni. 



Nel § I , partendo dalla definizione della retta, giungo alle proprietà 

 più semplici di questa e del punto e piano dello spazio ordinario. Questi 

 due enti, punto e piano, compaiono nella geometria della retta come l'ana- 

 logo dei due sistemi di generatrici di una quadrica ordinaria, e su ciò 

 appunto si bàsa la legge di dualità. Punti e piani sono cioè le due specie 

 diverse di sistemi lineari doppiamente infiniti di rette, come i fasci sono 

 i sistemi lineari semplicemente infiniti ; e questo modo d' introdurre i 

 punti e i piani nella pura geometria della retta presenta molti vantaggi, 

 ed è il solo che sia veramente logico. Nel § 2 ottengo come caso parti- 

 colare della geometria di una quadrica nello spazio ad n — \ dimensioni 

 la teoria dei complessi e congruenze lineari e delle rigate quadriche, i 

 loro casi speciali e la relazione d' involuzione tra essi. Nel § 3 do un breve 

 cenno sulla teoria generale delle rigate e considero specialmente le rigate 

 cubiche e quartiche, come quelle che sono importanti anche nel seguito 

 del lavoro. Nel § 4 entro finalmente nella teoria del complesso quadratico, 

 della congruenza quadratica e della rigata biquadratica, le cui proprietà si 

 ottengono come casi particolari da quelle delle quartiche ad un numero 

 qualunque di dimensioni. Sono subito condotto in questo modo a consi- 

 derare rispettivamente i complessi lineari, le congruenze lineari e le 

 rigate quadriche che sono fondamentali per quelle serie quadratiche 

 di rette. Inoltre, il § 2 della it parte, conduce immediatamente alla gene- 

 razione del complesso quadratico mediante stelle reciproche di complessi 

 lineari, della congTuenza quadratica e della rigata biquadratica mediante 

 fasci proiettivi risp. di congruenze lineari e di rigate quadriche. Cosi 

 trovo pure le rigate quadriche contenute in un complesso ed in una 

 congruenza quadratici (in numero risp. di oo* e di oo') ed i risultati 

 ottenuti, concordano perfettamente con quelli ottenuti per tutt' altra via 

 dallo Schur nella sua importante ^^ Inauguro Idissertation » (1879) « Geo- 

 metrische Untersuchungen iiber Sirahlencomplexe 1 und 2 Grades ». 

 Ottengo anche immediatamente quaH sono i complessi quadratici gene- 

 rabili con fasci proiettivi di complessi lineari. Nel § 5 studio la polarità 

 rispetto ad un complesso quadratico e sono condotto assai semphce- 

 mente ad alcune proposizioni dovute allo Schur e ad altre del Berti ni 

 e di Klein. Cito particolarmente il teorema sulle rette che sono polari 

 delle loro polari: il Klein nella memoria citata lo aveva solo enunciato 



