12 STUDIO SULLE QUADEICHE ECC. 



pel complesso quadratico più generale : a me riesce di darne una dimo- 

 strazione semplicissima colle solite considerazioni della pura geometria 

 della retta, dimostrazione che si estende anche a tutti i casi che può pre- 

 sentare il complesso. Nel § 6 considero le rette singolari dei vari ordini 

 di un complesso quadratico qualunque, la superficie singolare e la serie 

 omofocale. I complessi quadratici di questa serie hanno tutti la stessa 

 superficie singolare, ma, com'io noto, non in tutti i casi questa basta a 

 determinare la serie. Quello che importa veramente considerare in una 

 serie omofocale sono, più ancora che la superficie singolare, quelle che io 

 chiamo focali e che possono essere congruenze quadratiche o rigate biqua- 

 dratiche, quaterne di rette. Esse danno tutte le principali proprietà della 

 serie omofocale di complessi quadratici, la classificazione di questi, i loro 

 invarianti assoluti, ecc., e sono l'analogo in un certo senso delle coniche 

 doppie della sviluppabile circoscritta ad una schiera di quadriche nello 

 spazio ordinario e dei vertici di coni quadrici in cui questa sviluppabile 

 può degenerare. Per ogni specie di complessi quadratici e quindi di loro 

 serie omofocale mostro , come si ottenga immediatamente il grado di 

 questa serie, cioè il numero dei complessi di essa passanti per una retta 

 arbitraria dello spazio (numero che è ^ 4) ed anche il numero degl'in- 

 varianti assoluti di ogni complesso e della serie omofocale, e quale sia 

 il significato geometrico di questi invarianti assoluti. Tutti questi risultati 

 sono nuovi. Indi, considerando la superficie singolare dimostro in due modi 

 diversi, che mi paiono assai notevoli, il teorema di Klein sull'uguaglianza 

 dei rapporti anarmonici dei 4 punti e 4 piani singolari passanti per una 

 retta arbitraria, ed anche un teorema semplicemente enunciato dal Voss, 

 che lo completa. Poscia mostro in quali relazioni stanno le rette singolari 

 dei vari ordini dei complessi quadratici omofocali colla superfìcie singo- 

 lare di questi, qualunque ne sia del resto la specie. 



Indi faccio le ricerche analoghe a quelle dei §§ 5 e 6, nel § 7 per le 

 congruenze quadratiche e nel § 8 per le rigate biquadratiche. Nel § 7 , 

 dopo la teoria della polarità rispetto ad una congruenza quadratica, teoria 

 già svolta in parte dallo Schur nel lavoro citato, passo a considerare la 

 superficie focale della congruenza quadratica, la quale, qualunque sia la 

 specie di questa è sempre (come io ho dimostrato) superficie singolare 

 per una serie omofocale di complessi quadratici. E qui si presentano le 

 rette singolari di 1° e 2° ordine di una congruenza quadratica, la curva 

 singolare di questa (analogo della superficie singolare di un complesso 

 quadratico), e la serie omofocale di congruenze quadratiche contenute iu 



