DI CORKAPO SEGKE 13 



un complesso lineare, colle sue focali (rigate biquadratiche, o, per ecce- 

 zione, quaterne di rette). La teoria di questa serie omofocale è nuova ; 

 io la ottengo direttamente e quindi da essa si potrebbe ottenere colla 

 rappresentazione di Noether e di Li e del complesso lineare nello spazio 

 di punti tutta la teoria del sistema omofocale di ciclidi studiato da Dar- 

 boux, Moutard, ecc., ed anche i casi particolari di questo sistema. Per 

 ultimo ritrovo e completo alcune proprietà della congruenza quadratica 

 dovute al Caporali. Nel § 8 studio la rigata biquadratica, i suoi punti e 

 piani cuspidali e le sue generatrici singolari, e considero una serie {omo- 

 focale) di tali rigate, le quali hanno la proprietà di aver comuni punti e 

 piani cuspidali : tra esse vi sono in generale 4 rigate quadriche doppie, 

 che sono precisamente le rigate quadriche fondamentali di tutte quelle 

 rigate biquadratiche. Ognuna di queste ha comuni colle 4 rigate quadriche 

 fondamenlah 4 quaterne di rette, che sono generatrici iperboliche di 

 quella rigata biquadratica; già il Voss aveva dimostrato che il numero 

 di queste generatrici è 16, ma io mostro pure in tal modo come esse si 

 raggruppano. 



Finalmente, nel § 9, tratto la classificazione dei complessi quadratici, 

 la quale comprende quella delle congruenze quadratiche e rigate biqua- 

 dratiche, e viceversa è data (quasi completamente) dalla classificazione di 

 queste. Da tutta la teoria svolta nei §§ precedenti risultano varie proprietà 

 caratteristiche delle diverse specie di complessi quadratici, e queste specie 

 vengono ad avere una divisione in classi assai naturale, e che s'accorda 

 sia colla pura geometria della retta, sia colle particolarità della superficie 

 singolare come luogo di punti e inviluppo di piani. Evito così i difetti 

 che ho rimproverato alla classificazione del Weiler, e correggo alcuni 

 errori che sfuggirono a questo. Così , ve n' è uno importante che egli fa 

 sempre per tutta la classe di complessi quadratici, la cui superficie sin- 

 golare è una quadrica doppia (generale o degenerata) e di cui si sarebbe 

 accorto se avesse considerato, com'io faccio, la serie omofocale di com- 

 plessi quadratici e la loro comune quaterna focale. Finisco col notare come 

 la considerazione degli invarianti assoluti (i quali danno luogo a diversità 

 tra complessi quadratici di una stessa specie) conduca a trovare le prin- 

 cipali proprietà che appunto possono distinguere tra loro i complessi qua- 

 dratici di una stessa specie, mostrando ciò sul complesso di Battaglini, 

 la cui superficie singolare {teiraedroide di Cayley) ha proprietà, che si 

 deducono con quella considerazione, da quelle note della superficie di 

 K u m m e r. 



