16 STUDIO SULLE QUADRIGHE ECC. 



per coordinate precisamente nel primitivo sistema i valori delle funzioni lineari omo- 

 genee considerate in cui si sian sostituite le coordinate degli elementi dello spazio, si 

 ha cosi una corrispondenza univoca, che diremo proiettività, tra questi elementi. Dei 

 raggruppamenti di elementi dello spazio lineare noi considereremo solo quelle pro- 

 prietà, che non mutano per una trasformazione qualunque di coordinate, cioè (poiché, 

 come vedemmo, le due cose si equivalgono) che valgono pure per i raggruppamenti di 

 elementi che corrispondono a quelli in una proiettività qualunque dello spazio ; vale 

 a dire noi ne considereremo soltanto le proprietà proiettive. 



2. Consideriamo uno spazio lineare qualunque ad n — 1 dimensioni. Chiameremo 

 punto ogni suo elemento, qualunque ne sia la natura (la quale per noi non ha as- 

 solutamente importanza). Ogni spazio ad m — 1 dimensioni, i cui elementi siano punti, 

 sarà perciò contenuto in quello spazio lineare, sicché sarà m ^ n. Tra questi spazi 

 di punti contenuti nello spazio lineare dato sono notevoli quelli che soddisfano anch'essi 

 alla condizione della linearità. Indichiamo con x,, x^ ... x„ le n coordinate omogenee 

 di un punto dello spazio dato ad w — 1 dimensioni, e con y^, y^, ... y^ le ni coor- 

 dinate omogenee di un punto in uno spazio lineare qualunque ad m — 1 dimensioni 

 contenuto in quello: è chiaro che per tutti quei punti le coordinate x saranno fun- 

 zioni omogenee determinate delle y. Noi restringeremo ora il significato dato prima 

 alla parola lineare e intenderemo per spazio lineare ad m — 1 dimensioni contenuto 

 nello spazio di punti l'insieme di tutti quei punti le cui coordinate Xi, considerate 

 in quest'ultimo spazio sono funzioni lineari omogenee date di m parametri </, , y^, ... y^ 

 (mentre nel senso più generale dell'espressione spasio lineare, potrebbe essere lineare 

 lo spazio costituito dall' insieme di quei punti, anche quando queste funzioni omogenee 

 date delle y fossero di un grado qualunque). Di qui segue immediatamente che af- 

 finché le X siano coordinate dei punti di uno spazio lineare ad m — 1 dimensioni oc- 

 corre e basta che esse soddisfino a certe n — m equazioni lineari omogenee. 



Eisulta così come lo spazio lineare ad n — 1 dimensioni dato contenga altri spazi 

 lineari ad un minor numero di dimensioni, e in qual modo tutti questi si ottengano. 

 Ogni spazio lineare di punti ad n^l dimensioni, che chiameremo pure per brevità 

 piano, sarà costituito dai punti le cui coordinate x soddisfano ad una data equazione 

 lineare omogenea, che dicesi eq;uazione del piano, ovvero dai punti le cui coordinate 

 si possono rappresentare come funzioni lineari omogenee di altre n — 1 quantità va- 

 riabili (coordinate dei punti sul piano) . Ogni spazio lineare , ad w — 3 dimensioni , 

 si comporrà dei punti le cui coordinate x si possono rappresentare come funzioni 

 lineari omogenee di altre n — 2 variabili , ossia soddisfano a due date equazioni 

 lineari omogenee, e quindi anche a quelle oo' che si hanno componendo queste li- 

 nearmente. E di qui segue che un tale spazio lineare ad m — 3 dimensioni è l' insieme 

 dei punti comuni, od intersezione, di oo' piani aventi appunto risp. quelle equazioni. In 

 generale uno spazio lineare ad n— k — 1 dimensioni di punti si comporrà di quei punti 

 le cui coordinate x si possono rappresentare come funzioni lineari omogenee di n — Zc 

 nuove variabili, ossia le cui coordinate x soddisfano a k equazioni lineari omogenee 

 e quindi a quelle c5o*~' che se ne deducono componendole linearmente, donde segue 

 che un tale spazio lineare di punti può riguardarsi come l'intersezione di co*~' piani. 



