DI COEKADO SEGEE 17 



3. Indiclieremo con <?"„, ogui spazio lineare di punti ad m dimensioni, cosiccliè 

 tutti i punti costituiscono un S '„_, , die rappresenteremo semplicemente con S. Un 

 piano di punti sarà rappresentato da S'„__^, ed un S\ sarà un punto unico. Un 

 piano qualunque è individuato, come vedemmo, dalla sua equazione 2,- ^j a;, = 0, nella 

 quale le e,- sono n coefficienti dati. Il piano è dunque individuato da queste n quan- 

 tità o meglio dai loro rapporti e serve viceversa ad individuarli. Ne segue, per de- 

 finizione, che i piani di punti dello spazio S lineare ad n — 1 dimensioni si possono 

 a loro volta considerare come gli elementi di uno spazio 2 pure lineare e ad n — 1 

 dimensioni; le ^,- saranno allora le coordinate omogenee di un piano considerato come 

 elemento di 2. Un'equazione lineare omogenea qualunque tra le coordinate S, di un 

 piano assoggetta questo a passare per un punto fisso, le cui coordinate omogenee sono 

 i coefficienti delle =, in quell'equazione. Si potrà dunque in questo senso chiamare 

 quella Vcquasione del j)unto in coordinate di piani. Idue spazii lineari S q 1, aventi 

 per elementi il 1" i punti, il 2° i piani stanno dunque tra loro in questa mutua 

 dipendenza che gli spazi lineari ad n — 2 diarensioni contenuti nell'uno sono gli ele- 

 menti dell'altro spazio e viceversa. Questo dimostra la legge di dualità, cioè da qua- 

 lunque proposizione dimostrata se ne deduce un'altra che è pur vera facendo in quella 

 lo scambio delle parole punto e piano. 



In particolare valgono dunque ancora le proposizioni dedotte con quello scambio 

 da quelle del N° precedente. Indicheremo con 2'„ ogni spazio lineare di piani ad 

 m dimensioni, ed avi'emo allora: 



Ogni S\ di punti .è V intersezione comune ad un 2'„_^_j di piani. 



Due tali spazi lineari S\ , 2'„_^_j di punti e di piani si diranno spazi congiunti. 



4. Dati /^ + 1 punti di un S\_ risulta dal N° 2 che questo è determinato. Se 

 si indicano con a;/' , a;,'''', ... a;/*"^'^ (dove ^ = 1, ... w) le coordinate di quei punti, è 

 chiaro che quelle di un altro punto qualunque del S\ sì potranno rappresentare con 



dove le quantità l'"\ ?'^\ ... ?''''"'''' varieranno dall'un punto all'altro e si potranno 

 considerare come le h + 1 coordinate omogenee di un punto nello spaziò a h dimen- 

 sioni S' i; considerato. 



Similmente dati n — 1—lc piani '£,' , 'S," , ... ^'"~'~''', , essi determinano un l'„_^_^ 

 di piani tale, che uno qualunque di essi avrà coordinate che si possono rappresentare con 



dove le ),', X ", ... )J" -'"'■■) si potranno assumere come coordinate di un piano qualunque 

 in quel 1' „_^_^. li' S\ di punti congiunto a questo 2'„_^_4 di piani è evidentemente 

 costituito dai punti x che soddisfano alle n — 1 — h equazioni : 



2, r,- x,= , 2,1",- ^, = , . .. , 2, l,'-- ''^a;,= . 



Dati k-\-\ punti x^'\ yi-'^^, ... a;^*"^'^ soddisfacienti a queste equazioni, cioè 

 appartenenti al S\, tutti gli altri saranno determinati nel modo detto. 



Serie II. Tom. XXXVI. 



