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STXIDIO SULLE QUADEICHE ECC. 



Come di o^ni piano od S'„_^ di punti si possono considerare le coordinate e 

 prendere tutti gli S'„_^ come elementi di uno spazio , diverso da quello di punti , 

 così si può fare per gli 3',^ di punti, qualunque sia /; (purché minore di n—1). 

 Clehsch mostrò in fatti (*) come si possano prendere per coordinate del S\ deter- 



minato dai lc-\-l punti a;''\ a;'^^ 

 colla matrice 



c'''+'' i determinanti d'ordine /; + ! formati 



CO 



x,^ 



{') 



{^) 



7.'.') 



(^) 



(*-+■) 



(*+') 



(*+■) 



e analogamente si possono avere le coordinate degli spazi lineari di piani determinati 

 da piani dati. E come ogni tale spazio ha uno spazio congiunto di punti e viceversa, 

 Clehsch dimostrò che se lo spazio 2\_^_^ di piani congiunto al suddetto S\ è de- 

 terminato dagli w — 1 — it piani |', B," , ... ^C"- '-*-)^ sicché questi hanno quel S\. 

 per intersezione, i determinanti della suddetta matrice sono proporzionali ai comple- 

 mentari della matrice 



I' £' . . S' 



■5 2 '^ Z .•••?« 



(n — I — k) '^ [n — I— A) 



■r («-1-A-) 



cosicché le coordinate di un S\ e quelle del 2'^_^_^ congiunto si possono conside- 

 rare come uguali. 



Però queste coordinate di spazii lineari, il cui numero è 1 ) , non sono 



più indipendenti tra loro, come le coordinate ' di punti e quelle di piani. Ed invero 

 il numero degli S\ si riconosce facilmente essere soltanto oo'-*"'"''^""'"''. Quelle coor- 

 dinate sono effettivamente legate tra loro da certe relazioni quadratiche di cui 



( )^('''+l) (w— ^ — 1) — 1 sono indipendenti (**). Di qui segue che lo spazio 



costituito dagli St'^ non è lineare, salvo che pei casi di /; = (spazio di punti) e di 

 Jc=^n—2 (spazio di piani). 



5. Due spazi lineari S'^, S'^,, di punti essendo determinati rispettivamente da 

 «1+1 e m'-\-l punti appartengono, quando sia m-\-ìn'S.n — 2, al ^S '„,^„,._^, de- 

 terminato da quegli «* + 5»'4-2 punti, e non hanno evidentemente in generale alcun 

 punto comune. Ma può accadere in ogni caso, qualunque siano m, m , che quegli 

 S'„, S'^, abbiano comune un S'^ (essendo a minore di in, m) : siccome allora si 



(*) V. Veber eine Fundamentalaufgahe der Invariantentheorie (Abhandluagen der koa. Gesellsohaft 

 der Wisaenscbaftea zu Gòttingen, XVII Band, 1872) §§ 1 e 2. 



{**) Queste relazioni quadratiche furono date dal Prof. D'Ovidio nella memoria « Ricerche sui si- 

 stemi indeterminati di equazioni lineari a (.'Vtti d9ll'Acc. d. Scienze di Torino, voi. Xll IS77). 



