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possono prendere su questo w + 1 tra quegli ni + 1 e tu' + 1 punti die individuano 

 gli S',„, S'„,,, ,il numero dei punti che detei-minano questi si ridurrà ad vì+m'+l — a, 

 e pei- essi si può far passare un S'„^^,_^ , il quale conterrà evidentemente quegli S'„^ , S'„,. 

 Vicevei-sa, se per due spazi lineari qualunque risp. ad m e m' dimensioni si può far 

 passare uno spazio pure lineare ad m+m'—a dimensioni, quelli si taglieranno (qua- 

 lunque siano w, m') in uno spazio lineare ad a dimensioni. Ponendo a — m+m'—n+l 

 potremo dunque dii-e che, in generale, nello spazio S ad n — 1 dimensioni due spazi 

 lineari S'„,, S'„,, non hanno punti comuni se m+m'<w — 1, altrimenti hanno 

 comme un S',„+„,,_„+, . In casi particolari però potranno aver comune uno spazio 

 a maggior numero di dimensioni, ma allora saranno contenuti in uno spazio li- 

 neare di punti a numero di dimensioni inferiore d'altrettanto ad n—1 (*). 



Queste considerazioni si trasportano immediatamente per dualità agli spazi li- 

 neari di piani contenuti in 2,. 



Il Veronese chiama nello spazio S duali due spazi lineari i cui numeri di di- 

 mensioni m, ni siano tali che m+»»'=:w — 2. Tali sono in particolare il punto 

 («; = 0) ed il piano di punti (»;'=« — 2). Quando « è un numero pari esiste uno 



n—2 

 spazio lineare duale a se stesso : quello ad — - — dimensioni. Due spazii lineari duali 



di punti non hanno in generale, per quanto dicemmo, alcun punto comune. Possono 

 però aver comune per eccezione uno spazio lineare (S''^ , ed in tal caso sono contenuti 

 in un S\_^_^, cioè in uno spazio lineare duale a questo; e viceversa. 



6. Xello spazio di punti S ad n — 1 dimensioni diremo che uno spazio qua- 

 lunque di punti ad m dimensioni S„^ è uno spazio algebrico d'ordine g, quando ogni 

 spazio lineare di punti ad n — 1 — m dimensioni ha in generale comuni con esso g punti. 

 Indicheremo un tale spazio algebrico, quando vorremo porne in evidenza l'ordine, con 

 S^^, cosicché gli spazi lineari, essendo di 1° ordine, saranno rappresentati da S'^, 

 come appunto facemmo finora. Similmente diremo che uno spazio ad ni dimensioni 

 di piani 2^ è uno spazio algebrico di classe g , ossia è un 3^,„ , se in generale 

 sono g quei suoi piani che appartengono ad uno spazio lineare qualunque di piani 

 ad n — 1 — m dimensioni, cioè che passano per uno spazio lineare qualunque ad m -1 

 dimensioni di punti. In particolare cliiameremo superficie-luogo o superficie-inviluppo 

 uno spazio ad n — 2 dimensione di punti o di piani, cosicché il piano sarà una su- 

 perficie-luogo di 1° ordine ed il punto una superficie-inviluppo di l'' classe. Un'equa- 

 zione di grado g in coordinate di punti rappresenta una superficie-luogo d'ordine g; 

 un'equazione di grado g tra le coordinate di un piano rappresenta una superficie- 

 inviluppo di classe g. Un numero qualunque Jc di equazioni dei gradi g, , g^, ■ . ■ , g^ 

 xa coordinate di punti (o di piani) determinano uno spazio algebrico di punti (o piani) 

 ad K — 1— A- dimensioni dell'ordine (o classe) g,g^---g^., come si scorge immediata- 

 mente aggiungendo a quelle equazioni altre n — 1—k equazioni lineari. Tuttavia 



(*) Per le considerazioni svolte in questo numero, v. yEaoNESE « Behandlwng der projeciivischen 

 Yerhdllnissen der Rdume Eon verschiedenen TJimensionen durch das Princip des Projicirens und 

 Schneidens » Mathematische Annalen, Bd. XIX (V. pag. 163-165). 



