20 STUDIO SULLE QUADKICHE ECC. 



TÌ sono spazi algebrici di varie dimensioai non rappresentabili in questo modo con 

 equazioni. 



Due spazi algebrici S„ , S„,, di ordine qualunque non si tagliano in generale se 

 jj; _l_ )»,'<; ji _ 1 , ma quando in + m'^n — 1 si tagliano in generale in uno spazio al- 

 gebrico ($'„,+„,/_„+, , il cui ordine sarà il prodotto degli ordini di quelli (*). Di qui 

 si passa facilmente al caso di un numero qualunque di spazi algebrici. 



7. Uno spazio algebrico ad vi dimensioni d'ordine g ha solo comune in generale 

 con un S'/. un S^^^i,_„+, (supposto m+k^n — 1) ; se quel S',; ne contenesse an- 

 cora un punto fuori di questo /S'^„+;^_„^_, , taglierebbe 1' S^^ in uno spazio ad una 

 dimensione (almeno) di più, cioè ad m + k — n + 2 dimensioni. 



Ciò posto cerchiamo quale sia la condizione necessaria e sufficiente affinchè un 

 (S''„ (che supponiamo non si scinda) sia contenuto in un S'i, essendo i>m e <Cn. 

 Ogni /S"„_,_„ taglierebbe in tal caso V S^^ in g punti contenuti nel >S'';_,„ in cui 

 taglierebbe l'^*';. Viceversa, se supponiamo che ogni S" '„_,_„, tagli V S^^ in g punti 

 di un S\_,„, ne seguirà per le cose premesse che ogni S'^_^ taglierà V S"^ in un 

 S^, di un 6''i_„^., , che ogni S'„_^_f., lo taglierà in un S^^ di un S\_„,_^.^, e cosi 

 via; e finalmente che VS^,„ sta in un S\. Dunque la condizione cercata, perchè 

 questo accada, è che ogni S '„_,_„ tagli 1' ^'^ in g punti di un /S* ',_,„. Ora, siccome 

 g punti stanno sempre in un S'^_, , così quella condizione è sempre soddisfatta quando 

 i — m^g — 1, cioè i'^m+g — 1. Possiamo dunque conchiudere la seguente impor- 

 tante proposizione ('■*) : 



Ogni S^^ è sempre contenuto in uno spasi o lineare ad m+g — 1 dimensioni 

 (ma può anche stare in uno spasio lineare ad un numero qualunque compreso tra 

 m ed m + g di dimensioni). 



Questo teorema ha molta importanza nello studio degli spazi algebrici a più 

 dimensioni, perchè fornisce un primo criterio di classificazione per gli spazi di ordine 

 g dato. Da esso segue immediatamente ponendo 5» = 2 : 



Ogni spazio di 2° ordine ad m dimensioni è contenuto in uno spazio lineare 

 ad m+1 dimensioni. 



Ponendo invece m =1 si ha : 



Ogni S^^ è contenuto in uno spazio lineare ad un numero di dimensioni non 

 superiore a g. 



Quindi gli 8^, si possono distinguere in g — 1 specie a seconda che stanno in 

 un S\j, od in un S'g_,, od in un S'g_^, finalmente in un 3\. 



(') L'Halphen dimostrò, credo pel primo, questo teorema sull'ordine dell'intersezione di due spazi 

 algebrici ad un numero qualsiasi di dimensioni , che costituisce un' importante generalizzazione del 

 teorema di Bézout (V. H.vlphbn, Recherches de geometrie à n dimensions. BuUetin de la Société ma- 

 thématique de France, tome II, année 1873-74, pag. 40). 



(") Questo teorema si trova enunciato senza dimostrazione nel lavoro citato del Veronese, p. 167; 

 il caso particolare corrispondente ad m= 1 era già stato dato prima dal Clifford nella sua importante 

 memoria « On the classification of Loci » {Philosophical Transactions 1878, voi. 169, pag. 663-681) alla 

 pag. 6J4 con una dimostrazione sintetica riprodotta dal Veronese (ibid. pag. 166). 



